Oefenopgaven AP Statistics: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 58, 15, 38, 18, 48, 55, 26.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 65?

μ = 60σ = 5x = 65

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 1. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 20 en 41,3 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 41,3

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 25% ervan ligt (het 25e percentiel).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 35Σy = 436Σx² = 285Σy² = 39446Σxy = 3288

r =

8.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 5) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(3, 5)

e =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 8 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −7,2 en standaardafwijking 6,1. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 8d̄ = −7,2s_d = 6,195%t(7) = 2,365

E = mmHg

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 39. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 39E = 295%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 117,8 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,8s = 15n = 36

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft? De standaardafwijking is 4. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 4E = 2,590%

n =

13.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1402 × 2

χ² =

14.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,57

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 258/7 = 36,86

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 21,14² + (−21,86)² + 1,143² + (−18,86)² + 11,14² + 18,14² + (−10,86)² = 1853

Standaardafwijking

s = √(1853/6) = 17,57

Antwoord

s = 17,57

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1587

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 11,18

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,25 + 20·0,25 + 30·0,25 + 40·0,25 = 25

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,25 + 900·0,25 + 1600·0,25 = 750

Variantie

Var(X) = 750 − 25² = 125

σ = √125 = 11,18

Antwoord

σ = 11,18

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 2,51

Spreiding van X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·0,8367 = 2,51

Antwoord

σ_Y = 2,51

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·1 + 1 = 4.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9167

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,55) − Φ(−2) = 0,9394 − 0,02275 = 0,9167

Antwoord

P = 0,9167

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 246,6 g

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Terug naar x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Antwoord

x = 246,63 g

7.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9879

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 3288 − 35·436/5 = 236

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 39446 − 436²/5 = 1427

Correlatiecoëfficiënt

r = 236/√(40·1427) = 0,9879

Antwoord

r = 0,9879

8.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,219

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 128/6 = 21,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

Regressielijn

b = 212/70 = 3,029

a = 21,33 − 3,029·7 = 0,1333

ŷ = 0,1333 + 3,029·x

Voorspelde waarde

ŷ = 0,1333 + 3,029·3 = 9,219

Residu

e = 5 − 9,219 = −4,219

Antwoord

e = −4,219

Het punt ligt onder de lijn.

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 5,101 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 7, t = 2,365

Foutmarge

E = 2,365·6,1/√8 = 5,101

Antwoord

E = 5,101 mmHg

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1461

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·39/2)² = 1461

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1461

Antwoord

n = 1461

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −0,88

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Toetsingsgrootheid

t = (117,8 − 120)/2,5 = −0,88

Antwoord

t = −0,88

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 7

n oplossen

n = (1,645·4/2,5)² = 6,927

Naar boven afronden

n = 7

Antwoord

n = 7

13.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 4,2

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

mannen: 80·70/140 = 40, 80·70/140 = 40

vrouwen: 60·70/140 = 30, 60·70/140 = 30

Chikwadraatgrootheid

χ² = (46 − 40)²/40 + (34 − 40)²/40 + (24 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30

χ² = 4,2

Antwoord

χ² = 4,2

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

14.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 6,389

Verwachte aantallen

fabriek A: 24, 36

fabriek B: 24, 36

fabriek C: 32, 48

Chikwadraatgrootheid

χ² = (28 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36 + (16 − 24)²/24 + (44 − 36)²/36 + (36 − 32)²/32 + (44 − 48)²/48

χ² = 6,389

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

6,389 > 5,991

Antwoord

χ² = 6,389

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice