Oefenopgaven AP Statistics: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 46, 21, 21, 28, 18, 23.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 154.

μ = 170σ = 20x = 154

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 2 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 2

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 6p = 0,1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,6628 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,6628

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 5% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

8.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (10, 88) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(10, 88)

e =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 20 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 7,3 en standaardafwijking 7,3. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 20d̄ = 7,3s_d = 7,390%t(19) = 1,729

bovengrens = mmHg

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 16,5 kg, standaardafwijking 7,5 kg. Groep 2: 10 proefvelden, gemiddelde 16 kg, standaardafwijking 6 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 16,5s₁ = 7,5n₂ = 10x̄₂ = 16s₂ = 699%t(19) = 2,861

ondergrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 250 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 247,72. Toets H₀: μ = 250 tegen H₁: μ ≠ 250. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 250σ = 12n = 36x̄ = 247,72H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 17. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 1,5σ = 17z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, klein”.

rijtotaal = 92kolomtotaal = 76N = 180

E =

14.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 6 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²_crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,26

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 157/6 = 26,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 19,83² + (−5,167)² + (−5,167)² + 1,833² + (−8,167)² + (−3,167)² = 526,8

Standaardafwijking

s = √(526,8/5) = 10,26

Antwoord

s = 10,26

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,8

Standaardiseren

z = (154 − 170)/20 = −0,8

Antwoord

z = −0,8

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3056

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Antwoord

P = 0,3056

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,8857

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

Tel ze op

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Antwoord

P = 0,8857

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −0,42

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,6628 = 0,3372

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,3372 in de tabel en lees z af.

z = −0,42

Antwoord

z = −0,42

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 434 h

Oppervlak links

Φ(z) = 0,05

z uit de tabel

z ≈ −1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 − 1,64·40 = 434 h

Antwoord

x = 434 h

7.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9227

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 298/5 = 59,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 809,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 249/√(90·809,2) = 0,9227

Antwoord

r = 0,9227

8.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 4,805

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 361/6 = 60,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 403

Regressielijn

b = 403/70 = 5,757

a = 60,17 − 5,757·6 = 25,62

ŷ = 25,62 + 5,757·x

Voorspelde waarde

ŷ = 25,62 + 5,757·10 = 83,2

Residu

e = 88 − 83,2 = 4,805

Antwoord

e = 4,805

Het punt ligt boven de lijn.

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 10,12 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 19, t = 1,729

Foutmarge

E = 1,729·7,3/√20 = 2,822

Interval

7,3 ± 2,822 → [4,478, 10,12]

Antwoord

bovengrens = 10,12 mmHg

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −8,039 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (10·7,5² + 9·6²)/19 = 46,66

s_p = 6,831

Foutmarge

E = 2,861·6,831·√(1/11 + 1/10) = 8,539

Interval

0,5 ± 8,539 → [−8,039, 9,039]

Antwoord

ondergrens = −8,039 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,2543

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (247,72 − 250)/2 = −1,14

Staartoppervlakte

Φ(1,14) = 0,8729

1 − Φ(1,14) = 0,1271

p-waarde

p = 2·0,1271 = 0,2543

Antwoord

p = 0,2543

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 795

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·17/1,5)² = 794,5

Naar boven afronden

n = 795

Antwoord

n = 795

13.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 38,84

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 92·76/180 = 38,84

Antwoord

E = 38,84

14.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²_crit = 15,09

Vrijheidsgraden

df = 6 − 1 = 5

Tabel

χ²_crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086

Antwoord

χ²_crit = 15,086

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice