Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De ondergrens voor sorteren op basis van vergelijkingen in het slechtste geval is:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Topologisch sorteren is alleen mogelijk voor:

  1. AGrafen met negatieve gewichten
  2. BGerichte acyclische grafen (DAG)
  3. CVolledige grafen
  4. DOngerichte grafen
3.DatastructurenGemiddeld

Een applicatie heeft snel opzoeken nodig en moet ook sleutels gesorteerd kunnen opsommen en bereikquery's beantwoorden. Welke structuur past het best?

  1. AEen hashtabel
  2. BEen ongesorteerde gekoppelde lijst
  3. CEen gebalanceerde binaire zoekboom
  4. DEen stack
4.DatastructurenMoeilijk

In de BST met wortel 50, linkersubboom 30 (kinderen 20, 40) en rechtersubboom 70 (kinderen 60, 80) wordt de wortel verwijderd met behulp van de inorder-opvolger. Welke sleutel wordt de nieuwe wortel?

  1. A80
  2. B40
  3. C60
  4. D70
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 17 hoekpunten en 18 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 17|E| = 18
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 3 beginnen en eindigen bij D? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ω(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Elk vergelijkingsgebaseerd sorteeralgoritme heeft in het slechtste geval minstens log₂(n!) ≈ n log n vergelijkingen nodig. Countingsort doet het beter omdat het niet vergelijkt.

Antwoord

C · Ω(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Gerichte acyclische grafen (DAG)

Waarom dit het antwoord is

Een topologische volgorde bestaat dan en slechts dan als de gerichte graaf geen cycli heeft; die is te vinden in O(V + E) met DFS of het algoritme van Kahn.

Antwoord

B · Gerichte acyclische grafen (DAG)
3.Datastructuren

Antwoord: C · Een gebalanceerde binaire zoekboom

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde BST geeft opzoeken in O(log n) en houdt sleutels geordend, zodat een inorder-doorloop en bereikquery's eenvoudig zijn; een hashtabel verspreidt sleutels.

Antwoord

C · Een gebalanceerde binaire zoekboom
4.Datastructuren

Antwoord: C · 60

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop van de rechtersubboom is 60, dus 60 vervangt 50 en zijn oude positie wordt verwijderd; met de voorganger zou het 40 worden.

Antwoord

C · 60
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 2

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

17 − 1 = 16

Te verwijderen kanten

k = 18 − 16 = 2

Antwoord

k = 2
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 4

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Nog één stap

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 3·0 + 2·1 + 1·1 = 4

Antwoord

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms