Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke uitspraak over een recursieve functie zonder bereikbaar basisgeval is juist?

  1. AZe geeft automatisch 0 terug
  2. BDe compiler maakt er altijd een lus van die veilig eindigt
  3. CZe blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
  4. DZe loopt in O(1) tijd
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over het selecteren van het k-de kleinste element van een ongesorteerde array is juist?

  1. AQuickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
  2. BSelectie heeft altijd Ω(n log n) nodig, omdat er gesorteerd moet worden
  3. CSelectie is alleen mogelijk in O(n²)
  4. DQuickselect loopt in het slechtste geval in O(log n), omdat het maar aan één kant van de pivot recursief verdergaat
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom is het doorlopen van een array in de praktijk vaak veel sneller dan het doorlopen van een gekoppelde lijst van dezelfde lengte?

  1. AGekoppelde lijsten slaan elementen altijd op schijf op
  2. BEen array doorlopen kost in totaal O(1), een gekoppelde lijst doorlopen O(n)
  3. CArray-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
  4. DArrays gebruiken minder instructies om waarden te vergelijken
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom zou een server zijn hashfunctie willekeurig kiezen uit een universele familie?

  1. AOm het vergroten van de tabel overbodig te maken
  2. BOm te garanderen dat geen twee sleutels ooit botsen, welke sleutels een aanvaller ook stuurt
  3. COm de hashtabel gesorteerd te maken
  4. DOm het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 3
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
59102613918ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

Waarom dit het antwoord is

Zonder basisgeval stopt de recursie nooit; in de praktijk raakt het geheugen voor stackframes op en crasht het programma.

Antwoord

C · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

Waarom dit het antwoord is

Het verwachte werk van quickselect is n + n/2 + n/4 + ... = O(n) met willekeurige pivots; door de pivot te kiezen als mediaan van medianen wordt het slechtste geval lineair.

Antwoord

A · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
3.Datastructuren

Antwoord: C · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

Waarom dit het antwoord is

Aaneengesloten geheugen geeft een goede localiteit van referentie, terwijl gekoppelde knopen verspreid kunnen liggen en veel cache misses veroorzaken.

Antwoord

C · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
4.Datastructuren

Antwoord: D · Om het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen

Waarom dit het antwoord is

Bij universal hashing is het verwachte aantal botsingen voor elke verzameling sleutels klein, omdat de aanvaller niet weet welke functie is gekozen.

Antwoord

D · Om het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 4

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Antwoord

L = 4

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 17

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 5
B (5): C: 14, D: 15, G: 18
C (14)
D (15): F: 17, G: 16
G (16): E: 24
F (17): E: 23
E (23)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 17

Antwoord

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms