Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Dynamisch programmeren is nuttig wanneer een probleem het volgende heeft:

AOverlappende deelproblemen en optimale substructuur
BEén enkele lus
CHelemaal geen deelproblemen, dus het kan in één stap worden opgelost
DAlleen willekeurige invoer

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom is een opzoeking in een hashtabel gemiddeld O(1) maar in het slechtste geval O(n)?

ASleutels moeten eerst gesorteerd worden
BHashfuncties zijn traag
CVeel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
DArrays hebben O(n) toegang

3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

AZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
BVerwijder het laatste element van de array
CVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
DVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links

4.DatastructurenMoeilijk

Het algoritme van Kahn voor topologisch sorteren verwijdert herhaaldelijk knopen met ingraad 0. Welke structuur bevat die knopen?

AEen stack van alle bezochte kanten
BEen queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
CEen adjacency matrix die bijhoudt welke knopen al zijn verwijderd
DEen max-heap geordend op uitgraad

5.GrafentheorieGemiddeld

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5

1Eulercircuit
2Eulerpad, geen circuit
3geen van beide

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Overlappende deelproblemen en optimale substructuur

Waarom dit het antwoord is

Het opslaan van resultaten van overlappende deelproblemen (memoisatie of tabulatie) voorkomt herhaald werk en maakt van exponentiële algoritmen polynomiale.

Antwoord

A · Overlappende deelproblemen en optimale substructuur

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen

Waarom dit het antwoord is

Met een goede hashfunctie en bezettingsgraad (load factor) blijven buckets gemiddeld kort; kwaadwillende of slechte hashing kan alle sleutels in één bucket stoppen.

Antwoord

C · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen

3.Datastructuren

Antwoord: C · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

C · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

4.Datastructuren

Antwoord: B · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0

Waarom dit het antwoord is

Klare knopen worden in een queue bewaard; het verwijderen van een knoop verlaagt de ingraad van zijn buren, en wie op 0 komt wordt toegevoegd, wat O(V + E) tijd geeft.

Antwoord

B · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0

5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 22

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 1

C (1): B: 14, E: 7

E (7): D: 16, F: 22, G: 17

B (14): D: 15

D (15)

G (17)

F (22)

Kortste pad

A → C → E → F

d(F) = 22

Antwoord

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms