Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke uitspraak over een recursieve functie zonder bereikbaar basisgeval is juist?

AZe geeft automatisch 0 terug
BDe compiler maakt er altijd een lus van die veilig eindigt
CZe loopt in O(1) tijd
DZe blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

AEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
BElk element moet minstens één keer worden vergeleken
CBinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig
DElke vergelijking kost logaritmische tijd

3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

AZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
BVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
CVerwijder het laatste element van de array
DVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links

4.DatastructurenMoeilijk

Welke uitspraak over heapsort is juist?

AHet draait op elke invoer in O(n) tijd
BHet is stabiel en heeft O(n) extra geheugen nodig
CHet sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
DHet heeft een binaire zoekboom nodig als extra opslag, dus het gebruikt O(n) extra geheugen

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₇? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₇

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

Waarom dit het antwoord is

Zonder basisgeval stopt de recursie nooit; in de praktijk raakt het geheugen voor stackframes op en crasht het programma.

Antwoord

D · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

A · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

3.Datastructuren

Antwoord: B · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

B · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

4.Datastructuren

Antwoord: C · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel

Waarom dit het antwoord is

Heapsort bouwt een max-heap en haalt binnen dezelfde array n keer het maximum eruit; verwisselingen over grote afstanden kunnen gelijke sleutels van volgorde veranderen.

Antwoord

C · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 360

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwoord

H = 360

6.Grafentheorie

Antwoord: G

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 12, C: 14

2. B (12): D: 26

3. C (14): E: 17

4. E (17): D: 22, F: 27, G: 20

5. G (20)

6. D (22)

7. F (27)

ronde 5

Antwoord

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms