Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De ondergrens voor sorteren op basis van vergelijkingen in het slechtste geval is:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Een probleem is NP-volledig als het:

  1. ABuiten NP valt maar moeilijker is dan alle NP-problemen, zoals het stopprobleem
  2. BOnmogelijk op te lossen is
  3. CIn NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
  4. DIn polynomiale tijd oplosbaar is
3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel knopen heeft een perfecte binaire boom met hoogte h, waarbij de hoogte in kanten wordt geteld?

  1. A2h
  2. B2h + 1
  3. C2h+1 − 1
  4. Dh2
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom kun je elementen niet zomaar uit een standaard-Bloomfilter verwijderen door hun bits te wissen?

  1. ABits in een Bloomfilter kunnen na het aanmaken niet worden veranderd
  2. BBloomfilters slaan de volledige elementen op, die na het hashen niet meer te vinden zijn
  3. CVerwijderen zou het percentage fout-positieven naar 100% verhogen
  4. DDie bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, 2 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
17945215121820ABCDEFG

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt A. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5.

start: Ak = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant GB
  9. 9kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ω(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Elk vergelijkingsgebaseerd sorteeralgoritme heeft in het slechtste geval minstens log₂(n!) ≈ n log n vergelijkingen nodig. Countingsort doet het beter omdat het niet vergelijkt.

Antwoord

C · Ω(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is

Waarom dit het antwoord is

NP-volledige problemen zijn de moeilijkste in NP; een polynomiaal algoritme voor één ervan zou er een opleveren voor heel NP.

Antwoord

C · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
3.Datastructuren

Antwoord: C · 2h+1 − 1

Waarom dit het antwoord is

Optellen van 1 + 2 + 4 + ... + 2h geeft 2h+1 − 1; hoogte 2 geeft bijvoorbeeld 7 knopen.

Antwoord

C · 2h+1 − 1
4.Datastructuren

Antwoord: D · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken

Waarom dit het antwoord is

Het wissen van een gedeelde bit zou een ander element afwezig laten lijken; counting Bloom filters houden tellers bij in plaats van bits om verwijderen mogelijk te maken.

Antwoord

D · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 19

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

Antwoord

L = 19

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant EF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. AC (9)
2. BC (4)
3. BD (5)
4. DE (2)
5. EF (12)
6. GB (18)

kantnummer 5

EF

Antwoord

kant EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms