Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welk algoritme vindt een minimaal opspannende boom door herhaaldelijk de goedkoopste kant toe te voegen die geen cyclus vormt?

  1. AHet algoritme van Kruskal
  2. BFloyd-Warshall
  3. CHet algoritme van Prim vanuit één knoop
  4. DHet algoritme van Dijkstra
3.DatastructurenGemiddeld

Waar staat in een binaire heap die in een array vanaf index 0 is opgeslagen de ouder van de knoop op index i?

  1. AOp index i − 1
  2. BOp index 2i + 1
  3. COp index ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DOp index ⌊(i − 1) / 2⌋
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is het belangrijkste voordeel van een skiplist ten opzichte van een gesorteerde gekoppelde lijst?

  1. AHij gebruikt geen extra geheugen
  2. BVerwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
  3. CHij slaat sleutels ongeordend op
  4. DGegarandeerd zoeken in O(1), omdat elke knoop een pointer naar elke andere knoop bewaart
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 4, 4 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 44 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
4639138221215ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

De binnenste lus loopt ongeveer log₂ n keer voor elk van de n buitenste iteraties, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

D · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Het algoritme van Kruskal

Waarom dit het antwoord is

Kruskal sorteert kanten op gewicht en voegt ze toe als ze verschillende componenten verbinden; Prim laat één boom groeien vanuit een startknoop.

Antwoord

A · Het algoritme van Kruskal
3.Datastructuren

Antwoord: D · Op index ⌊(i − 1) / 2⌋

Waarom dit het antwoord is

De kinderen van i staan op 2i + 1 en 2i + 2, dus de ouder van i staat op ⌊(i − 1) / 2⌋; bij indexering vanaf 1 is het ⌊i / 2⌋.

Antwoord

D · Op index ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Datastructuren

Antwoord: B · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers

Waarom dit het antwoord is

Willekeurige niveaus laten zoekacties veel knopen overslaan, wat verwacht O(log n) oplevert voor zoeken, invoegen en verwijderen.

Antwoord

B · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 10

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 24 = 2(L + 8) − 2
L = 10

Antwoord

L = 10

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 17

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 4, C: 6
B (4): G: 6
C (6): E: 15
G (6)
E (15): D: 28, F: 17
F (17): D: 25
D (25)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 17

Antwoord

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms