Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Is het juist om te zeggen dat een O(n²)-algoritme ook O(n³) is?

ANee, omdat grote O altijd de exacte groeisnelheid van de functie moet geven
BJa, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
CJa, maar alleen als n kleiner is dan 100
DNee, omdat n³ voor grote n kleiner is dan n²

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom kan het algoritme van Dijkstra verkeerde resultaten geven als sommige kantgewichten negatief zijn?

AEen knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
BHet raakt bij elke negatieve kant in een oneindige lus
CNegatieve getallen kunnen niet in een prioriteitswachtrij worden opgeslagen
DHet werkt alleen op ongerichte grafen

3.DatastructurenGemiddeld

Welk abstract datatype gebruikt het algoritme van Dijkstra om de volgende te verwerken knoop te kiezen?

AEen stack
BEen min-prioriteitswachtrij
CEen set zonder ordening
DEen FIFO-queue

4.DatastructurenMoeilijk

Hoe kun je met O(1) extra geheugen detecteren of een enkelvoudig gekoppelde lijst een cykel bevat?

ATel de knopen tot het aantal het lengteveld van de lijst overschrijdt
BSorteer de lijst en zoek naar duplicaten
CVerplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
DSla elke bezochte knoop op in een hash-set

5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 9 hoekpunten en 12 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 9|E| = 12

k =

6.GrafentheorieMoeilijk

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 9

W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³

Waarom dit het antwoord is

Grote O is een bovengrens, dus de uitspraak is waar maar niet strak; Θ(n²) geeft de exacte groeisnelheid.

Antwoord

B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven

Waarom dit het antwoord is

De gulzige stap rekent op niet-negatieve gewichten, zodat uitgehaalde afstanden definitief zijn; Bellman-Ford wordt gebruikt als gewichten negatief kunnen zijn.

Antwoord

A · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven

3.Datastructuren

Antwoord: B · Een min-prioriteitswachtrij

Waarom dit het antwoord is

Een min-prioriteitswachtrij, meestal een binaire heap, geeft efficiënt de onbezochte knoop met de kleinste afstand terug.

Antwoord

B · Een min-prioriteitswachtrij

4.Datastructuren

Antwoord: C · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

Waarom dit het antwoord is

Als er een cykel is, haalt bij het algoritme van Floyd de snelle pointer de langzame uiteindelijk in; anders bereikt de snelle pointer null.

Antwoord

C · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

5.Grafentheorie

Antwoord: k = 4

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

9 − 1 = 8

Te verwijderen kanten

k = 12 − 8 = 4

Antwoord

k = 4

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 45

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AB (1): nemen

BC (7): nemen

BE (9): nemen

DE (12): nemen

CE (13): overslaan, sluit een cykel

AC (15): overslaan, sluit een cykel

EF (16): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 7 + 9 + 12 + 16 = 45

Antwoord

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms