Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoeveel niveaus heeft de recursie van mergesort voor een array van n elementen?

  1. AOngeveer n
  2. BOngeveer log₂ n
  3. COngeveer √n
  4. DOngeveer n / 2
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat moet je doen om aan te tonen dat een nieuw probleem X NP-moeilijk is?

  1. AAantonen dat X in polynomiale tijd kan worden geverifieerd
  2. BX in polynomiale tijd reduceren tot een bekend NP-moeilijk probleem
  3. CAantonen dat X geen polynomiaal algoritme heeft voor kleine invoer
  4. DEen bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom kan een binaire heap zonder pointers in een array worden opgeslagen?

  1. AHeaps bevatten nooit meer dan 100 elementen
  2. BAlle sleutels in een heap zijn gelijk
  3. CArrays houden sleutels automatisch gesorteerd, dus er zijn geen pointers nodig
  4. DHet is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
4.DatastructurenMoeilijk

De union-find-structuur (disjoint set) met union by rank en padcompressie heeft geamortiseerde kosten per bewerking van:

  1. AO(n)
  2. BPrecies O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
103612241013ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ongeveer log₂ n

Waarom dit het antwoord is

Halveren van n tot 1 kost ongeveer log₂ n niveaus, en elk niveau doet O(n) samenvoegwerk, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

B · Ongeveer log₂ n
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X

Waarom dit het antwoord is

Als een bekend moeilijk probleem efficiënt in X kan worden omgezet, zou een snel algoritme voor X ook het bekende probleem oplossen.

Antwoord

D · Een bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X
3.Datastructuren

Antwoord: D · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules

Waarom dit het antwoord is

Compleetheid betekent dat er geen gaten zijn, dus de kinderen van index i staan altijd op 2i + 1 en 2i + 2.

Antwoord

D · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is

Waarom dit het antwoord is

Met beide optimalisaties kosten bewerkingen geamortiseerd O(α(n)) tijd; α(n) ≤ 4 voor elke realistische n.

Antwoord

D · O(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 1

Oneven hoekpunten

B, C, E, G → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 20

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 10, C: 3
C (3): E: 15
B (10): D: 16
E (15): F: 25
D (16): F: 20
F (20)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 20

Antwoord

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms