Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Ongeveer hoeveel vergelijkingen heeft binair zoeken in het slechtste geval nodig in een gesorteerde array van 1,000,000 elementen?

  1. AOngeveer 100
  2. BOngeveer 500,000
  3. COngeveer 20
  4. DOngeveer 1,000
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Als je beide eindpunten van elke kant in een maximale koppeling neemt, krijg je een knoopoverdekking. Hoe goed is deze overdekking?

  1. AAltijd een minimale knoopoverdekking
  2. BHoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
  3. CHoogstens log n keer het minimum
  4. DVan onbekende kwaliteit vergeleken met het optimum
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de waarde van de postfixexpressie 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B14
  3. C24
  4. D11
4.DatastructurenMoeilijk

Je wilt voor elk element van een array het volgende grotere element rechts ervan vinden, in totaal O(n) tijd. Welke structuur helpt?

  1. AEen binaire zoekboom die voor elk element opnieuw wordt opgebouwd
  2. BEen hashtabel van alle elementen
  3. CEen queue die elk paar elementen bevat
  4. DEen stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 20 hoekpunten en 23 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 20|E| = 23
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
171118154713321ABCDEFG

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant DE
  5. 5kant DF
  6. 6kant EF
  7. 7kant GB
  8. 8kant GC
  9. 9kant GD
  10. 10kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ongeveer 20

Waarom dit het antwoord is

220 ≈ 1,048,576, dus na ongeveer 20 halveringen blijft er maar één element over.

Antwoord

C · Ongeveer 20
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking

Waarom dit het antwoord is

De koppelingskanten delen geen knopen, dus het optimum heeft minstens één knoop per kant nodig, terwijl deze methode er twee neemt: een 2-benadering.

Antwoord

B · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
3.Datastructuren

Antwoord: B · 14

Waarom dit het antwoord is

Push 3 en 4, + geeft 7; push 2, * geeft 7 × 2 = 14.

Antwoord

B · 14
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten

Waarom dit het antwoord is

Loop van links naar rechts, pop elk element op de stack dat kleiner is dan het huidige (het huidige element is hun antwoord) en push dan het huidige; elk element wordt hoogstens twee keer verplaatst.

Antwoord

D · Een stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 4

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

20 − 1 = 19

Te verwijderen kanten

k = 23 − 19 = 4

Antwoord

k = 4
6.Grafentheorie

Antwoord: kant GD

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. GE (1)
2. GD (2)
3. GC (3)
4. DF (4)
5. AC (11)
6. GB (13)

kantnummer 2

GD

Antwoord

kant GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms