Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(n) heeft als oplossing:

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Karatsuba-vermenigvuldiging voldoet aan T(n) = 3T(n/2) + O(n). Wat is de oplossing?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is het doel van een sentinelknoop (dummyknoop) in een gekoppelde lijst?

  1. AHet aantal elementen opslaan
  2. BVoorkomen dat de lijst groeit voorbij een vast maximumaantal knopen
  3. CDe lijst gesorteerd maken
  4. DDe code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
4.DatastructurenMoeilijk

Door het invoegen van een sleutel in een AVL-boom wordt de linkersubboom van een knoop te hoog, en de nieuwe sleutel kwam in de linkersubboom van zijn linkerkind (left-left-geval). Welke correctie wordt toegepast?

  1. AEen enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
  2. BEen enkele linksrotatie bij de ongebalanceerde knoop
  3. CHet opnieuw kleuren van de knoop en zijn kind
  4. DEen linksrotatie bij het kind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
14571012121010ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 3 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema (a = 2, b = 2, f(n) = n) geldt T(n) = Θ(n log n).

Antwoord

B · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Θ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585

Waarom dit het antwoord is

Omdat log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, domineren volgens het mastertheorema de bladeren, wat beter is dan de O(n²) van de schoolmethode.

Antwoord

D · Θ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585
3.Datastructuren

Antwoord: D · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen

Waarom dit het antwoord is

Met een sentinel heeft elke echte knoop een voorganger, dus invoegen of verwijderen aan de kop vraagt geen speciale behandeling.

Antwoord

D · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
4.Datastructuren

Antwoord: A · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop

Waarom dit het antwoord is

In het left-left-geval tilt één rechtsrotatie het linkerkind omhoog en herstelt de balans; zigzaggevallen vereisen een dubbele rotatie.

Antwoord

A · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

A, C, D, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: B

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 14, C: 5
2. C (5): B: 12, E: 17
3. B (12): D: 22
4. E (17)
5. D (22): F: 32
6. F (32)

ronde 3

B

Antwoord

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms