Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een bottom-uptabel?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe verhouden n! en 2ⁿ zich voor grote n?

  1. An! is O(n²)
  2. BZe groeien even snel
  3. C2ⁿ groeit sneller dan n!
  4. Dn! groeit sneller dan 2ⁿ
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe wordt in een circulaire queue in een array met capaciteit n de volgende positie na index i berekend?

  1. A2i + 1
  2. Bi + 1
  3. C(i − 1) mod n
  4. D(i + 1) mod n
4.DatastructurenMoeilijk

Met welke structuur bereken je het maximum van elk venster van grootte k in een array in totaal O(n)?

  1. AEen min-heap die voor elk venster opnieuw wordt opgebouwd
  2. BEen gesorteerde array die door verschuiven wordt bijgewerkt
  3. CEen deque met indices in afnemende volgorde van waarde
  4. DEen enkelvoudig gekoppelde lijst van de elementen in het venster
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 7 hoekpunten en 14 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 7|E| = 14
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
161113147815ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 3
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het vullen van de tabel van 0 tot n kost één optelling per element, dus het werk is lineair in plaats van exponentieel.

Antwoord

B · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · n! groeit sneller dan 2ⁿ

Waarom dit het antwoord is

Voor n ≥ 4 is n! groter dan 2ⁿ, en de verhouding groeit onbegrensd, omdat elke extra factor van n! groter is dan 2.

Antwoord

D · n! groeit sneller dan 2ⁿ
3.Datastructuren

Antwoord: D · (i + 1) mod n

Waarom dit het antwoord is

De modulo-bewerking laat index n − 1 terugspringen naar 0, zodat de array wordt hergebruikt zonder elementen te verschuiven.

Antwoord

D · (i + 1) mod n
4.Datastructuren

Antwoord: C · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde

Waarom dit het antwoord is

De voorkant van de deque is altijd het maximum van het venster; elke index gaat één keer de deque in en één keer eruit, dus het werk is lineair.

Antwoord

C · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 8

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

7 − 1 = 6

Te verwijderen kanten

k = 14 − 6 = 8

Antwoord

k = 8
6.Grafentheorie

Antwoord: kant DE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. EF (1)
2. BE (5)
3. DE (7)
4. AC (11)
5. CE (14)

kantnummer 3

DE

Antwoord

kant DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms