Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het standaardalgoritme voor dynamisch programmeren voor de langste gemeenschappelijke deelrij van strings met lengte m en n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(mn)
  4. DO(2m+n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de looptijd van het algoritme van Dijkstra met een binaire heap op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³)
  3. CO(V + E)
  4. DO((V + E) log V)
3.DatastructurenGemiddeld

Welke balansvoorwaarde handhaaft een AVL-boom in elke knoop?

  1. ABeide subbomen van elke knoop bevatten precies hetzelfde aantal knopen
  2. BDe hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
  3. CAlle bladeren liggen op precies dezelfde diepte
  4. DElke knoop is rood of zwart gekleurd
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke regel moeten hash en gelijkheid voldoen om een hashtabel correct te laten werken?

  1. AVerschillende sleutels moeten verschillende hashwaarden hebben
  2. BGelijke hashwaarden impliceren gelijke sleutels
  3. CHashwaarden moeten priemgetallen zijn
  4. DGelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
62103615121513ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 4 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(mn)

Waarom dit het antwoord is

De tabel heeft (m + 1)(n + 1) cellen, en elke cel wordt in O(1) berekend uit zijn buren.

Antwoord

C · O(mn)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O((V + E) log V)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn V extract-min- en hoogstens E decrease-keybewerkingen, elk O(log V); een Fibonacci-heap verbetert dit tot O(E + V log V).

Antwoord

D · O((V + E) log V)
3.Datastructuren

Antwoord: B · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1

Waarom dit het antwoord is

De balansfactor (hoogte links − hoogte rechts) moet −1, 0 of 1 zijn; rotaties herstellen die na invoegen en verwijderen.

Antwoord

B · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
4.Datastructuren

Antwoord: D · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben

Waarom dit het antwoord is

Als twee gelijke sleutels verschillend zouden hashen, zouden ze in verschillende buckets worden opgeslagen en zouden lookups mislukken; ongelijke sleutels mogen wel een hash delen.

Antwoord

D · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 6, C: 2
2. C (2): E: 8
3. B (6): D: 9
4. E (8): F: 23
5. D (9): F: 21
6. F (21)

ronde 4

E

Antwoord

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms