Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

In een gesorteerde array zoek je twee elementen die samen een doelwaarde opleveren door vanaf elk uiteinde een pointer naar binnen te bewegen. Wat is de tijdcomplexiteit?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

  1. AElk element moet minstens één keer worden vergeleken
  2. BElke vergelijking kost logaritmische tijd
  3. CEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
  4. DBinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig
3.DatastructurenGemiddeld

Wat kost het invoegen van een element in het midden van een array met n elementen?

  1. AO(n²), omdat elk element n keer verschuift
  2. BO(log n), vanwege binair zoeken
  3. CO(1), omdat de index bekend is
  4. DO(n), omdat latere elementen moeten opschuiven
4.DatastructurenMoeilijk

In een circulaire buffer kan front == rear zowel leeg als vol betekenen. Wat is een gangbare manier om ze te onderscheiden?

  1. AMaak de buffer altijd leeg als front gelijk is aan rear, zodat de toestand leeg is
  2. BMaak de buffergrootte een macht van twee
  3. CSla front en rear op in dezelfde variabele
  4. DHoud een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
16191441061535ABCDEFG

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant EF
  8. 8kant GB
  9. 9kant GC
  10. 10kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Is de som te klein, dan gaat de linkerpointer naar rechts; is ze te groot, dan gaat de rechterpointer naar links. Er zijn dus hoogstens n stappen.

Antwoord

D · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

C · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(n), omdat latere elementen moeten opschuiven

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen na het invoegpunt schuiven één positie naar rechts, wat tijd kost evenredig met n.

Antwoord

D · O(n), omdat latere elementen moeten opschuiven
4.Datastructuren

Antwoord: D · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt

Waarom dit het antwoord is

Met een teller betekent leeg count = 0 en vol count = capaciteit; met één lege plaats wordt vol gedefinieerd als (rear + 1) mod n == front.

Antwoord

D · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: kant GC

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. AC (1)
2. GC (3)
3. CE (4)
4. EF (6)
5. BC (9)
6. DE (10)

kantnummer 2

GC

Antwoord

kant GC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms