Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Met munten van 1, 3 en 4 en een bedrag van 6: hoeveel munten gebruikt de gulzige methode "grootste munt eerst", vergeleken met het optimum?

  1. AGulzig gebruikt 2 munten; het optimum is 2
  2. BGulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 3
  3. CGulzig gebruikt 4 munten; het optimum is 3
  4. DGulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Voor welke variant van het knapzakprobleem geeft de gulzige regel "neem items in volgorde van waarde per gewicht" altijd een optimaal antwoord?

  1. ADe 0/1-knapzak, waarbij items altijd in hun geheel moeten worden genomen
  2. BBeide varianten
  3. CGeen van beide varianten
  4. DDe fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is in het slechtste geval de hoogte van een binaire zoekboom met n knopen als de sleutels in gesorteerde volgorde worden ingevoegd?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. C√n
  4. Dn (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.DatastructurenMoeilijk

Welke bewerkingen ondersteunt een Fenwick-boom (binary indexed tree) over een array van n getallen in O(log n)?

  1. APrefixsomquery's en updates van één element
  2. BDe mediaan vinden in O(1)
  3. CElementen op elke positie invoegen
  4. DDe array sorteren en binair zoeken
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 13 hoekpunten en 15 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 13|E| = 15
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
1431241017112195156ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Gulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2

Waarom dit het antwoord is

Gulzig neemt 4 + 1 + 1 = 3 munten, maar 3 + 3 gebruikt er maar 2, dus gulzig is niet optimaal voor dit muntsysteem; dynamisch programmeren wel.

Antwoord

D · Gulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst

Waarom dit het antwoord is

Als items kunnen worden opgesplitst, is de beste verhouding eerst optimaal; bij de 0/1-knapzak kan een item met een hoge verhouding een betere combinatie blokkeren, dus is dynamisch programmeren nodig.

Antwoord

D · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
3.Datastructuren

Antwoord: D · n (hij wordt een gekoppelde lijst)

Waarom dit het antwoord is

Gesorteerd invoegen levert een gedegenereerde boom met hoogte n op, waardoor zoeken O(n) wordt. Gebalanceerde bomen voorkomen dit.

Antwoord

D · n (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.Datastructuren

Antwoord: A · Prefixsomquery's en updates van één element

Waarom dit het antwoord is

Een Fenwick-boom slaat deelsommen op over bereiken die worden bepaald door de lage bits van elke index, zodat zowel prefixsommen als puntupdates O(log n) kosten.

Antwoord

A · Prefixsomquery's en updates van één element
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

13 − 1 = 12

Te verwijderen kanten

k = 15 − 12 = 3

Antwoord

k = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 31

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

EF (2): nemen
AC (3): nemen
BD (4): nemen
GC (5): nemen
GE (6): nemen
CE (10): overslaan, sluit een cykel
DF (11): nemen

Totaal gewicht

W = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 11 = 31

Antwoord

W = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms