Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een bottom-uptabel?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat heeft de stelling van Cook-Levin vastgesteld?

  1. AHet stopprobleem is onbeslisbaar
  2. BElk NP-probleem kan in exponentiële tijd worden opgelost
  3. CHet booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
  4. DP is niet gelijk aan NP
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AAdjacency list
  2. BEén gesorteerde array van knopen
  3. CEen binaire heap van kanten
  4. DAdjacency matrix
4.DatastructurenMoeilijk

Het verwijderen van een knoop met twee kinderen uit een binaire zoekboom gebeurt meestal door:

  1. AHem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
  2. BDe deelboom eronder helemaal opnieuw op te bouwen en elke sleutel die erin zat opnieuw in te voegen
  3. CHem te verwisselen met de wortel
  4. DDe hele subboom te verwijderen
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K4? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K4
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
391513212111ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het vullen van de tabel van 0 tot n kost één optelling per element, dus het werk is lineair in plaats van exponentieel.

Antwoord

C · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig

Waarom dit het antwoord is

Cook en Levin lieten onafhankelijk van elkaar zien dat elk probleem in NP in polynomiale tijd reduceert tot SAT, zodat SAT het eerste bekende NP-volledige probleem was.

Antwoord

C · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
3.Datastructuren

Antwoord: A · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

A · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: A · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen

Waarom dit het antwoord is

De in-order-opvolger heeft hoogstens één kind, dus hij kan eenvoudig worden verwijderd nadat zijn sleutel naar de te verwijderen knoop is gekopieerd.

Antwoord

A · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: D

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 3, C: 9
2. B (3): D: 16, E: 14
3. C (9): E: 11
4. E (11)
5. D (16): F: 17
6. F (17)

ronde 5

D

Antwoord

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms