Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De tijdcomplexiteit van naïef recursief Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) is:

  1. AConstant
  2. BLineair
  3. CExponentieel
  4. DLogaritmisch
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe verhouden n! en 2ⁿ zich voor grote n?

  1. AZe groeien even snel
  2. B2ⁿ groeit sneller dan n!
  3. Cn! is O(n²)
  4. Dn! groeit sneller dan 2ⁿ
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

  1. A2
  2. B1
  3. C0,5
  4. DEr is geen maximum
4.DatastructurenMoeilijk

Je moet uit een stroom van n getallen de k kleinste waarden bewaren met O(k) geheugen. Welke aanpak werkt in O(n log k) tijd?

  1. AEen FIFO-queue van de laatste k waarden
  2. BEen min-heap met alle n waarden, waaruit aan het eind de k kleinste worden gehaald
  3. CEen max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
  4. DEen gesorteerde array van alle n waarden
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
97412121310139ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Exponentieel

Waarom dit het antwoord is

De aanroepboom groeit ongeveer als φⁿ (ongeveer 1,618ⁿ). Memoisatie brengt dit terug tot O(n).

Antwoord

C · Exponentieel
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · n! groeit sneller dan 2ⁿ

Waarom dit het antwoord is

Voor n ≥ 4 is n! groter dan 2ⁿ, en de verhouding groeit onbegrensd, omdat elke extra factor van n! groter is dan 2.

Antwoord

D · n! groeit sneller dan 2ⁿ
3.Datastructuren

Antwoord: B · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

B · 1
4.Datastructuren

Antwoord: C · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt

Waarom dit het antwoord is

De wortel van de max-heap is de grootste bewaarde waarde; elke kleinere nieuwe waarde vervangt die in O(log k), zodat de heap altijd de k kleinste tot nu toe bevat.

Antwoord

C · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 25

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 9, C: 7
C (7): G: 17
B (9): D: 13
D (13): E: 25, F: 25
G (17)
E (25)
F (25)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 25

Antwoord

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms