Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de looptijd van LSD-radix sort op n gehele getallen met d cijfers in grondtal k?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(d(n + k))
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke grens is juist voor log(n!)?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat gebeurt er als een hashtabel rehasht nadat de load factor een drempel overschrijdt?

  1. AAlleen de botsende sleutels worden naar een nieuwe overloop-lijst aan het eind van de tabel verplaatst
  2. BDe oudste sleutels worden verwijderd om ruimte te maken
  3. CEr wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
  4. DDe bestaande sleutels worden ter plaatse gesorteerd
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn de tijd- en extra geheugenkosten van het ter plaatse omkeren van een enkelvoudig gekoppelde lijst?

  1. AO(n log n) tijd en O(1) extra geheugen
  2. BO(n) tijd en O(1) extra geheugen
  3. CO(n) tijd en O(n) extra geheugen
  4. DO(1) tijd en O(1) extra geheugen
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K5? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K5
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 3 beginnen en eindigen bij B? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(d(n + k))

Waarom dit het antwoord is

Elk van de d doorgangen is een counting sort die O(n + k) kost, dus voor vaste d en k is het totaal lineair in n.

Antwoord

D · O(d(n + k))
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Θ(n log n)

Waarom dit het antwoord is

log(n!) ≤ n log n, en de grootste n / 2 factoren geven log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); daarom heeft sorteren met vergelijkingen Ω(n log n) nodig.

Antwoord

D · Θ(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: C · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

Waarom dit het antwoord is

Omdat de index modulo de tabelgrootte wordt berekend, moeten alle sleutels opnieuw in de nieuwe, grotere tabel worden gehasht; bij verdubbelen blijft dit geamortiseerd O(1).

Antwoord

C · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
4.Datastructuren

Antwoord: B · O(n) tijd en O(1) extra geheugen

Waarom dit het antwoord is

Met drie pointers (vorige, huidige, volgende) kun je elke koppeling in één doorgang omkeren zonder nieuwe knopen te reserveren.

Antwoord

B · O(n) tijd en O(1) extra geheugen
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 12

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwoord

H = 12
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 4

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Nog één stap

(M³)BB = 1·1 + 4·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 4

Antwoord

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms