Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke uitspraak over een recursieve functie zonder bereikbaar basisgeval is juist?

AZe geeft automatisch 0 terug
BZe loopt in O(1) tijd
CZe blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
DDe compiler maakt er altijd een lus van die veilig eindigt

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Een probleem is NP-volledig als het:

AIn NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
BBuiten NP valt maar moeilijker is dan alle NP-problemen, zoals het stopprobleem
COnmogelijk op te lossen is
DIn polynomiale tijd oplosbaar is

3.DatastructurenGemiddeld

Hoe vind je de kleinste sleutel in een binaire zoekboom?

AVolg vanaf de wortel rechterkinderen tot er geen rechterkind meer is
BBezoek elk blad en vergelijk ze
CVolg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
DKijk alleen naar de wortel

4.DatastructurenMoeilijk

Een object wordt als sleutel in een hashmap opgeslagen, waarna een veld dat de hashfunctie gebruikt wordt gewijzigd. Wat is het waarschijnlijke gevolg?

AHet object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
BDe map verplaatst de sleutel automatisch naar zijn nieuwe bucket
CEr verandert niets, omdat de hash van een sleutel maar één keer wordt berekend wanneer het programma start
DDe map geeft een fout op het moment dat het veld verandert

5.GrafentheorieGemiddeld

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 8

1Eulercircuit
2Eulerpad, geen circuit
3geen van beide

6.GrafentheorieMoeilijk

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij F? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2

N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

Waarom dit het antwoord is

Zonder basisgeval stopt de recursie nooit; in de praktijk raakt het geheugen voor stackframes op en crasht het programma.

Antwoord

C · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is

Waarom dit het antwoord is

NP-volledige problemen zijn de moeilijkste in NP; een polynomiaal algoritme voor één ervan zou er een opleveren voor heel NP.

Antwoord

A · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is

3.Datastructuren

Antwoord: C · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop heeft geen kleinere sleutel in de boom, dus is hij het minimum; de kosten zijn evenredig met de hoogte.

Antwoord

C · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is

4.Datastructuren

Antwoord: A · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

Waarom dit het antwoord is

De plaats van de sleutel werd gekozen op basis van zijn oude hash; met een nieuwe hash zoeken lookups in de verkeerde bucket, dus sleutels moeten onveranderlijk zijn.

Antwoord

A · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

D, E → 2

Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: N = 1

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. K_n heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 0

F: 0 0 0 1 0 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)_FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Antwoord

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms