Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom wordt het grondtal van een logaritme in grote-O-notatie meestal weggelaten, zoals in O(log n)?

  1. AHet grondtal doet er alleen toe voor kleine n
  2. BAlle logaritmen in de informatica hebben grondtal 10, dus het is impliciet
  3. CLogaritmen worden altijd afgerond op gehele getallen
  4. DLogaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de tijd- en ruimtekosten van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een lus die alleen de laatste twee waarden bewaart?

  1. AO(log n) tijd en O(n) ruimte
  2. BO(n) tijd en O(n) ruimte
  3. CO(2ⁿ) tijd en O(1) ruimte
  4. DO(n) tijd en O(1) ruimte
3.DatastructurenGemiddeld

AVL-bomen en rood-zwartbomen garanderen:

  1. AEen hoogte van O(log n) door herbalancering
  2. BDat geen enkele knoop twee kinderen heeft
  3. CZoeken in constante tijd in elk geval
  4. DDat sleutels in invoegvolgorde worden opgeslagen
4.DatastructurenMoeilijk

Een Bloom-filter kan de vraag "zit dit element in de verzameling?" beantwoorden met:

  1. AMogelijke fout-negatieven maar geen fout-positieven
  2. BMogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
  3. CAlleen antwoorden voor getallen
  4. DAltijd exacte antwoorden
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
5122141513119ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant DF
  8. 8kant EF
  9. 9kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor

Waarom dit het antwoord is

Een ander grondtal vermenigvuldigt de logaritme met een constante, en grote O negeert constante factoren.

Antwoord

D · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n) tijd en O(1) ruimte

Waarom dit het antwoord is

Elke stap heeft alleen de twee vorige waarden nodig, dus de tabel van de bottom-upmethode kan door twee variabelen worden vervangen.

Antwoord

D · O(n) tijd en O(1) ruimte
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een hoogte van O(log n) door herbalancering

Waarom dit het antwoord is

Zelfbalancerende bomen houden de hoogte logaritmisch, zodat zoeken, invoegen en verwijderen in het slechtste geval O(log n) zijn.

Antwoord

A · Een hoogte van O(log n) door herbalancering
4.Datastructuren

Antwoord: B · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven

Waarom dit het antwoord is

Als een van de bits voor een element 0 is, ontbreekt het zeker; als ze allemaal 1 zijn, is het waarschijnlijk aanwezig. Bloom-filters ruilen nauwkeurigheid in voor heel weinig geheugen.

Antwoord

B · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: kant EF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. BD (1)
2. BC (2)
3. CE (4)
4. AB (5)
5. EF (11)

kantnummer 5

EF

Antwoord

kant EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms