Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de geamortiseerde kosten van het ophogen van een binaire teller, als één ophoging veel bits kan omzetten?

  1. AO(log n) per ophoging
  2. BO(n) per ophoging
  3. CO(n log n) per ophoging
  4. DO(1) per ophoging
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is in het slechtste geval de hoogte van een binaire zoekboom met n knopen als de sleutels in gesorteerde volgorde worden ingevoegd?

  1. An (hij wordt een gekoppelde lijst)
  2. Blog₂ n
  3. C1
  4. D√n
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom gebruiken databases voor indexen vaak B+-bomen in plaats van gewone B-bomen?

  1. AB+-bomen gebruiken binaire interne knopen, wat het aantal schijflezingen vermindert
  2. BB+-bomen slaan data alleen in de wortel op
  3. CAlle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
  4. DB+-bomen hoeven niet gebalanceerd te zijn
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
691916741714ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema domineert nlog₂ 2 = n het constante werk, dus T(n) = Θ(n), zoals bij het vinden van een maximum door in helften te splitsen.

Antwoord

C · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(1) per ophoging

Waarom dit het antwoord is

Over n ophogingen wisselt bit i ongeveer n / 2ⁱ keer, dus het totaal is minder dan 2n bitwisselingen, gemiddeld O(1) per ophoging.

Antwoord

D · O(1) per ophoging
3.Datastructuren

Antwoord: A · n (hij wordt een gekoppelde lijst)

Waarom dit het antwoord is

Gesorteerd invoegen levert een gedegenereerde boom met hoogte n op, waardoor zoeken O(n) wordt. Gebalanceerde bomen voorkomen dit.

Antwoord

A · n (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.Datastructuren

Antwoord: C · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

Waarom dit het antwoord is

In een B+-boom sturen interne knopen alleen de zoektocht en zijn de bladeren in sleutelvolgorde gekoppeld, zodat een bereikquery de eerste sleutel vindt en dan langs de bladeren loopt.

Antwoord

C · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

A, C → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 43

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

DE (4): nemen
AB (6): nemen
CE (7): nemen
AC (9): nemen
BE (14): overslaan, sluit een cykel
BD (16): overslaan, sluit een cykel
DF (17): nemen

Totaal gewicht

W = 4 + 6 + 7 + 9 + 17 = 43

Antwoord

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms