Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom levert dynamisch programmeren geen echte versnelling op voor mergesort?

  1. AMergesort heeft geen recursieve structuur
  2. BDynamisch programmeren werkt alleen op grafenproblemen, niet op arrays
  3. CMergesort is al O(n)
  4. DDe deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Kortste enkelvoudige paden kunnen in polynomiale tijd worden gevonden. Wat is bekend over het vinden van het langste enkelvoudige pad tussen twee knopen in een algemene graaf?

  1. AHet is altijd oplosbaar in O(V + E)
  2. BHet is onbeslisbaar
  3. CHet kan worden opgelost met het algoritme van Dijkstra met negatieve gewichten
  4. DHet is NP-moeilijk
3.DatastructurenGemiddeld

Een trie (prefixboom) is bijzonder efficiënt voor:

  1. AGetallen sorteren
  2. BZoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
  3. CMatrices opslaan
  4. DKortste paden vinden
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn, zonder union by rank of path compression, de kosten in het slechtste geval van één find in een union-findstructuur met n elementen?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 16 hoekpunten en 24 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 16|E| = 24
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
1212221412915610ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken

Waarom dit het antwoord is

De helften van mergesort zijn disjunct en worden elk één keer opgelost; DP helpt alleen als deelproblemen terugkomen, zoals bij Fibonacci.

Antwoord

D · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

Een langste enkelvoudig pad van lengte V − 1 is een hamiltonpad, een NP-volledig probleem; op gerichte acyclische grafen is het echter in lineaire tijd oplosbaar.

Antwoord

D · Het is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: B · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen

Waarom dit het antwoord is

Tries slaan strings teken voor teken op langs paden, dus opzoeken en prefixquery's kosten tijd evenredig met de lengte van de sleutel.

Antwoord

B · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Naïeve unions kunnen bomen tot een lange keten koppelen, zodat find n − 1 ouderpointers kan moeten volgen; de twee heuristieken brengen het bijna op constante tijd.

Antwoord

D · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 9

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

16 − 1 = 15

Te verwijderen kanten

k = 24 − 15 = 9

Antwoord

k = 9
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 26

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 12, C: 12
B (12): G: 21
C (12): E: 14
E (14): D: 28, F: 26
G (21): D: 27
F (26)
D (27)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 26

Antwoord

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms