Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Je sorteert een array van n elementen één keer en beantwoordt daarna k lidmaatschapsvragen met binair zoeken. Wat zijn de totale kosten?

AO(n log n + k log n)
BO(n + k)
CO(k n log n)
DO(nk)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het algoritme van Held-Karp voor dynamisch programmeren lost het handelsreizigersprobleem exact op. Wat is de looptijd voor n steden?

AO(n² 2ⁿ)
BO(n!)
CO(2^n²)
DO(n³)

3.DatastructurenGemiddeld

Hoe wordt een nieuw element in een binaire heap ingevoegd?

APlaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt
BBouw de hele heap opnieuw op
CPlaats het in de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
DVoeg het op de gesorteerde positie in door alle grotere elementen één plaats naar rechts te verschuiven

4.DatastructurenMoeilijk

Hoe kun je met O(1) extra geheugen detecteren of een enkelvoudig gekoppelde lijst een cykel bevat?

ATel de knopen tot het aantal het lengteveld van de lijst overschrijdt
BSla elke bezochte knoop op in een hash-set
CVerplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
DSorteer de lijst en zoek naar duplicaten

5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 7 hoekpunten en 15 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 7|E| = 15

k =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n log n + k log n)

Waarom dit het antwoord is

Sorteren kost O(n log n) en elke vraag O(log n); dat is beter dan k lineaire zoektochten (O(nk)) als k groot is.

Antwoord

A · O(n log n + k log n)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n² 2ⁿ)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn ongeveer n 2ⁿ toestanden, die elk in O(n) worden berekend; dat is exponentieel, maar veel sneller dan alle (n − 1)! routes proberen.

Antwoord

A · O(n² 2ⁿ)

3.Datastructuren

Antwoord: A · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt

Waarom dit het antwoord is

Toevoegen aan het eind houdt de boom compleet; verwisselen met de ouder herstelt de ordening in O(log n) stappen.

Antwoord

A · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt

4.Datastructuren

Antwoord: C · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

Waarom dit het antwoord is

Als er een cykel is, haalt bij het algoritme van Floyd de snelle pointer de langzame uiteindelijk in; anders bereikt de snelle pointer null.

Antwoord

C · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

5.Grafentheorie

Antwoord: k = 9

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

7 − 1 = 6

Te verwijderen kanten

k = 15 − 6 = 9

Antwoord

k = 9

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 28

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 13

B (13): C: 15, D: 23, E: 17

C (15)

E (17): F: 28

D (23)

F (28)

Kortste pad

A → B → E → F

d(F) = 28

Antwoord

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms