Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Ongeveer hoeveel vergelijkingen heeft binair zoeken in het slechtste geval nodig in een gesorteerde array van 1,000,000 elementen?

  1. AOngeveer 1,000
  2. BOngeveer 100
  3. COngeveer 20
  4. DOngeveer 500,000
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat heeft de stelling van Cook-Levin vastgesteld?

  1. AElk NP-probleem kan in exponentiële tijd worden opgelost
  2. BHet booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
  3. CP is niet gelijk aan NP
  4. DHet stopprobleem is onbeslisbaar
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe lang duurt het zoeken naar een woord met lengte L in een trie met een vast alfabet?

  1. AO(n), waarbij n het aantal woorden is
  2. BO(L × n)
  3. CO(log n), waarbij n het aantal woorden is
  4. DO(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom zou een server zijn hashfunctie willekeurig kiezen uit een universele familie?

  1. AOm de hashtabel gesorteerd te maken
  2. BOm te garanderen dat geen twee sleutels ooit botsen, welke sleutels een aanvaller ook stuurt
  3. COm het vergroten van de tabel overbodig te maken
  4. DOm het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
11105412483ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ongeveer 20

Waarom dit het antwoord is

220 ≈ 1,048,576, dus na ongeveer 20 halveringen blijft er maar één element over.

Antwoord

C · Ongeveer 20
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig

Waarom dit het antwoord is

Cook en Levin lieten onafhankelijk van elkaar zien dat elk probleem in NP in polynomiale tijd reduceert tot SAT, zodat SAT het eerste bekende NP-volledige probleem was.

Antwoord

B · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen

Waarom dit het antwoord is

Elk teken kiest één kind, dus opzoeken kost L stappen, ongeacht hoeveel woorden de trie bevat.

Antwoord

D · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
4.Datastructuren

Antwoord: D · Om het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen

Waarom dit het antwoord is

Bij universal hashing is het verwachte aantal botsingen voor elke verzameling sleutels klein, omdat de aanvaller niet weet welke functie is gekozen.

Antwoord

D · Om het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 20

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 11, C: 10
C (10): E: 14
B (11): D: 16
E (14): F: 22
D (16): F: 20
F (20)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 20

Antwoord

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms