Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Is het juist om te zeggen dat een O(n²)-algoritme ook O(n³) is?

  1. AJa, maar alleen als n kleiner is dan 100
  2. BJa, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
  3. CNee, omdat grote O altijd de exacte groeisnelheid van de functie moet geven
  4. DNee, omdat n³ voor grote n kleiner is dan n²
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van het opbouwen van een binaire heap uit n ongesorteerde elementen met de bottom-upmethode?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
3.DatastructurenGemiddeld

Een binaire boom heeft wortel 1 met linkerkind 2 en rechterkind 3; knoop 2 heeft kinderen 4 (links) en 5 (rechts). Wat is de preorder-doorloop?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.DatastructurenMoeilijk

Welke datastructuur maakt een LRU-cache (least recently used) met get en put in O(1) mogelijk?

  1. AEen hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst
  2. BEén gesorteerde array
  3. CAlleen een stack
  4. DAlleen een binaire zoekboom
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
189115612ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³

Waarom dit het antwoord is

Grote O is een bovengrens, dus de uitspraak is waar maar niet strak; Θ(n²) geeft de exacte groeisnelheid.

Antwoord

B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het optellen van de sift-down-kosten over alle niveaus levert een convergente reeks op, dus heapify draait in lineaire tijd.

Antwoord

D · O(n)
3.Datastructuren

Antwoord: C · 1 2 4 5 3

Waarom dit het antwoord is

Preorder bezoekt 1, dan zijn linkersubboom (2, 4, 5), dan 3; de andere opties zijn inorder, postorder en level-order.

Antwoord

C · 1 2 4 5 3
4.Datastructuren

Antwoord: A · Een hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst

Waarom dit het antwoord is

De hashmap vindt knopen in O(1) en de dubbel gekoppelde lijst verplaatst benaderde elementen naar voren en verwijdert achteraan in O(1).

Antwoord

A · Een hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Oneven hoekpunten

A, B, C, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 15

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 1, C: 8
B (1): D: 10, E: 13
C (8): E: 9
E (9): F: 15
D (10)
F (15)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 15

Antwoord

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms