Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom levert dynamisch programmeren geen echte versnelling op voor mergesort?

AMergesort heeft geen recursieve structuur
BDynamisch programmeren werkt alleen op grafenproblemen, niet op arrays
CMergesort is al O(n)
DDe deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

AElk element moet minstens één keer worden vergeleken
BEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
CElke vergelijking kost logaritmische tijd
DBinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig

3.DatastructurenGemiddeld

Een hashtabel van grootte 7 gebruikt h(k) = k mod 7 en linear probing. Waar wordt 17 opgeslagen nadat 10 is ingevoegd?

AIndex 4
BIndex 3
CIndex 0
DIndex 6

4.DatastructurenMoeilijk

Waarom kun je elementen niet zomaar uit een standaard-Bloomfilter verwijderen door hun bits te wissen?

ABits in een Bloomfilter kunnen na het aanmaken niet worden veranderd
BDie bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken
CBloomfilters slaan de volledige elementen op, die na het hashen niet meer te vinden zijn
DVerwijderen zou het percentage fout-positieven naar 100% verhogen

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₄? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₄

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(E) van het kortste pad van A naar E in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: E

d(E) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken

Waarom dit het antwoord is

De helften van mergesort zijn disjunct en worden elk één keer opgelost; DP helpt alleen als deelproblemen terugkomen, zoals bij Fibonacci.

Antwoord

D · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

B · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

3.Datastructuren

Antwoord: A · Index 4

Waarom dit het antwoord is

10 mod 7 = 3 en 17 mod 7 = 3; index 3 is bezet, dus linear probing probeert de volgende plaats, index 4.

Antwoord

A · Index 4

4.Datastructuren

Antwoord: B · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken

Waarom dit het antwoord is

Het wissen van een gedeelde bit zou een ander element afwezig laten lijken; counting Bloom filters houden tellers bij in plaats van bits om verwijderen mogelijk te maken.

Antwoord

B · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3

6.Grafentheorie

Antwoord: d(E) = 14

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 2, C: 6

B (2): D: 10, G: 8

C (6)

G (8): E: 23

D (10): E: 14, F: 21

E (14)

F (21)

Kortste pad

A → B → D → E

d(E) = 14

Antwoord

d(E) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms