Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat meet geamortiseerde analyse?

  1. ADe verwachte kosten over willekeurige invoer
  2. BDe kosten van een algoritme bij de beste invoer
  3. CDe kosten van de ene duurste bewerking ergens in de reeks
  4. DDe gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke grens is juist voor log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.DatastructurenGemiddeld

Een in-order-doorloop van een binaire zoekboom bezoekt de sleutels in:

  1. AVolgorde per niveau
  2. BOplopend gesorteerde volgorde
  3. CAltijd aflopende volgorde
  4. DInvoegvolgorde
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn de tijd- en extra geheugenkosten van het ter plaatse omkeren van een enkelvoudig gekoppelde lijst?

  1. AO(n log n) tijd en O(1) extra geheugen
  2. BO(1) tijd en O(1) extra geheugen
  3. CO(n) tijd en O(n) extra geheugen
  4. DO(n) tijd en O(1) extra geheugen
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
192051101612218ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen

Waarom dit het antwoord is

Geamortiseerde analyse spreidt de kosten van zeldzame dure bewerkingen over veel goedkope, wat een gegarandeerd gemiddelde geeft voor elke reeks.

Antwoord

D · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Θ(n log n)

Waarom dit het antwoord is

log(n!) ≤ n log n, en de grootste n / 2 factoren geven log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); daarom heeft sorteren met vergelijkingen Ω(n log n) nodig.

Antwoord

D · Θ(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: B · Oplopend gesorteerde volgorde

Waarom dit het antwoord is

Eerst de linkersubboom, dan de knoop en dan de rechtersubboom bezoeken levert de BST-sleutels in gesorteerde volgorde op.

Antwoord

B · Oplopend gesorteerde volgorde
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(n) tijd en O(1) extra geheugen

Waarom dit het antwoord is

Met drie pointers (vorige, huidige, volgende) kun je elke koppeling in één doorgang omkeren zonder nieuwe knopen te reserveren.

Antwoord

D · O(n) tijd en O(1) extra geheugen
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

B, C, E, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 37

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BD (1): nemen
EF (2): nemen
BC (5): nemen
CE (10): nemen
DF (12): overslaan, sluit een cykel
DE (16): overslaan, sluit een cykel
BE (18): overslaan, sluit een cykel
AB (19): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 5 + 10 + 19 = 37

Antwoord

W = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms