Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke definitie van de klasse NP is juist?

  1. AProblemen die niet polynomiaal zijn
  2. BProblemen die niet in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
  3. CProblemen die geen enkel algoritme kan oplossen
  4. DBeslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe lang duurt het zoeken naar een woord met lengte L in een trie met een vast alfabet?

  1. AO(L × n)
  2. BO(n), waarbij n het aantal woorden is
  3. CO(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
  4. DO(log n), waarbij n het aantal woorden is
4.DatastructurenMoeilijk

Een segmentboom (segment tree) wordt doorgaans gebruikt om:

  1. ADe kanten van een graaf op te slaan
  2. BStrings alfabetisch te sorteren door elk voorvoegsel in een aparte boomknoop op te slaan
  3. CBereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
  4. DEen stack te implementeren
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, 4 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
721519596113ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

De binnenste lus loopt ongeveer log₂ n keer voor elk van de n buitenste iteraties, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

C · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd

Waarom dit het antwoord is

Bij een NP-probleem kan een voorgestelde oplossing (certificaat) snel worden gecontroleerd, bijvoorbeeld verifiëren dat een gegeven toekenning een booleaanse formule vervult.

Antwoord

D · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
3.Datastructuren

Antwoord: C · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen

Waarom dit het antwoord is

Elk teken kiest één kind, dus opzoeken kost L stappen, ongeacht hoeveel woorden de trie bevat.

Antwoord

C · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
4.Datastructuren

Antwoord: C · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden

Waarom dit het antwoord is

Een segmentboom slaat aggregaten voor intervallen op en ondersteunt bereikquery's en puntupdates in O(log n) tijd.

Antwoord

C · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 21

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 47 = 2(L + 14) − 2
L = 21

Antwoord

L = 21

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 25

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AC (2): nemen
BE (3): nemen
CE (5): nemen
DF (6): nemen
AB (7): overslaan, sluit een cykel
DE (9): nemen

Totaal gewicht

W = 2 + 3 + 5 + 6 + 9 = 25

Antwoord

W = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms