Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Een gretig (greedy) algoritme:

  1. AGeeft altijd de optimale oplossing
  2. BProbeert elke mogelijke oplossing
  3. CMaakt bij elke stap de lokaal beste keuze
  4. DGebruikt alleen recursie
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke definitie van de klasse NP is juist?

  1. AProblemen die geen enkel algoritme kan oplossen
  2. BProblemen die niet in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
  3. CBeslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
  4. DProblemen die niet polynomiaal zijn
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AAdjacency list
  2. BEén gesorteerde array van knopen
  3. CEen binaire heap van kanten
  4. DAdjacency matrix
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke eigenschap moet een rood-zwartboom voldoen?

  1. ADe wortel moet rood zijn
  2. BRode knopen moeten rode kinderen hebben, dus rode knopen vormen altijd ononderbroken ketens tot de bladeren
  3. CElk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
  4. DElke knoop moet rood zijn
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
17391681121824ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Maakt bij elke stap de lokaal beste keuze

Waarom dit het antwoord is

Gretige algoritmen zijn snel en optimaal voor sommige problemen (bijv. Dijkstra, Huffman-codering), maar niet in het algemeen (bijv. wisselgeld teruggeven bij sommige muntsystemen).

Antwoord

C · Maakt bij elke stap de lokaal beste keuze
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd

Waarom dit het antwoord is

Bij een NP-probleem kan een voorgestelde oplossing (certificaat) snel worden gecontroleerd, bijvoorbeeld verifiëren dat een gegeven toekenning een booleaanse formule vervult.

Antwoord

C · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
3.Datastructuren

Antwoord: A · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

A · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: C · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

Waarom dit het antwoord is

Rood-zwartregels: knopen zijn rood of zwart, de wortel is zwart, rode knopen hebben zwarte kinderen en alle paden hebben dezelfde zwarthoogte, waardoor de hoogte ≤ 2 log₂(n + 1) blijft.

Antwoord

C · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Oneven hoekpunten

C, E → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 36

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

EF (1): nemen
GD (2): nemen
BC (3): nemen
GE (4): nemen
DF (8): overslaan, sluit een cykel
BD (9): nemen
GB (12): overslaan, sluit een cykel
DE (16): overslaan, sluit een cykel
AB (17): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 9 + 17 = 36

Antwoord

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms