Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Breedte-eerst zoeken (BFS) op een ongewogen graaf vindt:

  1. AEen topologische volgorde in alle grafen
  2. BKortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
  3. CDe minimaal opspannende boom
  4. DKortste paden in grafen met negatieve kantgewichten
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe wordt het handelsreizigersprobleem geclassificeerd?

  1. ADe beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
  2. BHet is onbeslisbaar
  3. CHet zit in P, omdat het algoritme van Dijkstra het oplost door elke stad één keer te bezoeken
  4. DDe beslissingsversie zit in P, maar de optimalisatieversie is NP-volledig
3.DatastructurenGemiddeld

Bij welke methode voor het oplossen van botsingen worden botsende sleutels in een lijst in dezelfde bucket opgeslagen?

  1. ADubbel hashen (double hashing)
  2. BSeparate chaining (ketenen)
  3. CKwadratisch proberen (quadratic probing)
  4. DLineair proberen (linear probing)
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom kun je elementen niet zomaar uit een standaard-Bloomfilter verwijderen door hun bits te wissen?

  1. ABits in een Bloomfilter kunnen na het aanmaken niet worden veranderd
  2. BVerwijderen zou het percentage fout-positieven naar 100% verhogen
  3. CBloomfilters slaan de volledige elementen op, die na het hashen niet meer te vinden zijn
  4. DDie bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1914181216710513ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop

Waarom dit het antwoord is

BFS bezoekt knopen in volgorde van afstand (in kanten) tot de bron en vindt daardoor kortste ongewogen paden in O(V + E).

Antwoord

B · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

"Is er een route met lengte hoogstens k?" is NP-volledig; de kortste route vinden is NP-moeilijk, omdat dat minstens zo moeilijk is.

Antwoord

A · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: B · Separate chaining (ketenen)

Waarom dit het antwoord is

Chaining houdt per bucket een gekoppelde lijst (of een andere structuur) bij; open adressering zoekt een andere vrije plek in de tabel zelf.

Antwoord

B · Separate chaining (ketenen)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken

Waarom dit het antwoord is

Het wissen van een gedeelde bit zou een ander element afwezig laten lijken; counting Bloom filters houden tellers bij in plaats van bits om verwijderen mogelijk te maken.

Antwoord

D · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

A, B, C, D → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 43

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

CE (1): nemen
GC (5): nemen
DE (6): nemen
DF (7): nemen
GB (10): nemen
BD (12): overslaan, sluit een cykel
GE (13): overslaan, sluit een cykel
AC (14): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 5 + 6 + 7 + 10 + 14 = 43

Antwoord

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms