Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een bottom-uptabel?

AO(log n)
BO(2ⁿ)
CO(n)
DO(n²)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is het verschil tussen een onbeslisbaar en een onhandelbaar probleem?

AOnbeslisbare problemen zitten in NP, terwijl onhandelbare problemen in P zitten
BEen onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
CBeide betekenen dat het probleem helemaal geen algoritme heeft
DOnhandelbare problemen kunnen door geen enkel algoritme worden opgelost, terwijl onbeslisbare alleen exponentiële tijd nodig hebben

3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het zoeken naar een sleutel in een gebalanceerde binaire zoekboom?

AO(n log n)
BO(n)
CO(log n)
DO(1)

4.DatastructurenMoeilijk

Het verwijderen van een knoop met twee kinderen uit een binaire zoekboom gebeurt meestal door:

AHem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
BHem te verwisselen met de wortel
CDe hele subboom te verwijderen
DDe deelboom eronder helemaal opnieuw op te bouwen en elke sleutel die erin zat opnieuw in te voegen

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₇? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₇

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het vullen van de tabel van 0 tot n kost één optelling per element, dus het werk is lineair in plaats van exponentieel.

Antwoord

C · O(n)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag

Waarom dit het antwoord is

Voor het stopprobleem bestaat helemaal geen algoritme; een NP-moeilijk probleem zoals TSP kan met brute force worden opgelost, alleen niet in een bekende polynomiale tijd.

Antwoord

B · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag

3.Datastructuren

Antwoord: C · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde boom heeft een hoogte van ongeveer log₂ n, dus een zoekactie volgt één pad van de wortel naar een blad.

Antwoord

C · O(log n)

4.Datastructuren

Antwoord: A · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen

Waarom dit het antwoord is

De in-order-opvolger heeft hoogstens één kind, dus hij kan eenvoudig worden verwijderd nadat zijn sleutel naar de te verwijderen knoop is gekopieerd.

Antwoord

A · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 360

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwoord

H = 360

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 14

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 8, C: 13

B (8): D: 18, E: 13

C (13)

E (13): F: 14

F (14)

D (18)

Kortste pad

A → B → E → F

d(F) = 14

Antwoord

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms