Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat heeft de stelling van Cook-Levin vastgesteld?

  1. AHet stopprobleem is onbeslisbaar
  2. BHet booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
  3. CP is niet gelijk aan NP
  4. DElk NP-probleem kan in exponentiële tijd worden opgelost
3.DatastructurenGemiddeld

Een circulaire buffer (ring buffer) wordt vaak gebruikt om het volgende te implementeren:

  1. AEen hashfunctie
  2. BEen wachtrij met vaste grootte
  3. CEen binaire zoekboom
  4. DEen graafdoorloop
4.DatastructurenMoeilijk

De tijdcomplexiteit van decrease-key in een binaire heap (als de positie van het element bekend is) is:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
133118121547ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n niveaus met elk constant werk, zoals bij een recursieve som van een array.

Antwoord

A · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig

Waarom dit het antwoord is

Cook en Levin lieten onafhankelijk van elkaar zien dat elk probleem in NP in polynomiale tijd reduceert tot SAT, zodat SAT het eerste bekende NP-volledige probleem was.

Antwoord

B · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een wachtrij met vaste grootte

Waarom dit het antwoord is

Een ringbuffer gebruikt head- en tail-indices die rondlopen, wat enqueue en dequeue in O(1) oplevert met vast geheugen.

Antwoord

B · Een wachtrij met vaste grootte
4.Datastructuren

Antwoord: B · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Na het verlagen van de sleutel schuift het element hoogstens de hoogte van de heap omhoog (sift-up). Fibonacci-heaps halen decrease-key in geamortiseerd O(1).

Antwoord

B · O(log n)
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 25

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 13
C (13): B: 16, E: 21
B (16): D: 27
E (21): F: 25
F (25)
D (27)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 25

Antwoord

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms