Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Ongeveer hoeveel vergelijkingen heeft binair zoeken in het slechtste geval nodig in een gesorteerde array van 1,000,000 elementen?

  1. AOngeveer 100
  2. BOngeveer 20
  3. COngeveer 1,000
  4. DOngeveer 500,000
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zou er volgen als iemand een algoritme in polynomiale tijd vond voor één NP-volledig probleem?

  1. AAlle algoritmen met exponentiële tijd zouden meteen in lineaire tijd lopen
  2. BHet stopprobleem zou beslisbaar worden
  3. CAlleen dat ene probleem zou naar P verhuizen
  4. DElk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

  1. AVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links
  2. BZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
  3. CVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  4. DVerwijder het laatste element van de array
4.DatastructurenMoeilijk

Met welke structuur bereken je het maximum van elk venster van grootte k in een array in totaal O(n)?

  1. AEen enkelvoudig gekoppelde lijst van de elementen in het venster
  2. BEen min-heap die voor elk venster opnieuw wordt opgebouwd
  3. CEen deque met indices in afnemende volgorde van waarde
  4. DEen gesorteerde array die door verschuiven wordt bijgewerkt
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
98118157106ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ongeveer 20

Waarom dit het antwoord is

220 ≈ 1,048,576, dus na ongeveer 20 halveringen blijft er maar één element over.

Antwoord

B · Ongeveer 20
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP

Waarom dit het antwoord is

Omdat heel NP in polynomiale tijd reduceert tot elk NP-volledig probleem, geeft een snel algoritme voor één ervan een snel algoritme voor alle.

Antwoord

D · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
3.Datastructuren

Antwoord: C · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

C · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.Datastructuren

Antwoord: C · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde

Waarom dit het antwoord is

De voorkant van de deque is altijd het maximum van het venster; elke index gaat één keer de deque in en één keer eruit, dus het werk is lineair.

Antwoord

C · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 9, C: 8
2. C (8): E: 23
3. B (9): D: 17
4. D (17): F: 27
5. E (23)
6. F (27)

ronde 5

E

Antwoord

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms