Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de looptijd van LSD-radix sort op n gehele getallen met d cijfers in grondtal k?

AO(dn log k)
BO(d(n + k))
CO(n log n)
DO(n²)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Voor welke variant van het knapzakprobleem geeft de gulzige regel "neem items in volgorde van waarde per gewicht" altijd een optimaal antwoord?

ADe 0/1-knapzak, waarbij items altijd in hun geheel moeten worden genomen
BDe fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
CBeide varianten
DGeen van beide varianten

3.DatastructurenGemiddeld

Waarom is het doorlopen van een array in de praktijk vaak veel sneller dan het doorlopen van een gekoppelde lijst van dezelfde lengte?

AArrays gebruiken minder instructies om waarden te vergelijken
BArray-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
CGekoppelde lijsten slaan elementen altijd op schijf op
DEen array doorlopen kost in totaal O(1), een gekoppelde lijst doorlopen O(n)

4.DatastructurenMoeilijk

De union-find-structuur (disjoint set) met union by rank en padcompressie heeft geamortiseerde kosten per bewerking van:

AO(n²)
BO(n)
CO(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is
DPrecies O(log n)

5.GrafentheorieGemiddeld

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7

1Eulercircuit
2Eulerpad, geen circuit
3geen van beide

6.GrafentheorieMoeilijk

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 3 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 3

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(d(n + k))

Waarom dit het antwoord is

Elk van de d doorgangen is een counting sort die O(n + k) kost, dus voor vaste d en k is het totaal lineair in n.

Antwoord

B · O(d(n + k))

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst

Waarom dit het antwoord is

Als items kunnen worden opgesplitst, is de beste verhouding eerst optimaal; bij de 0/1-knapzak kan een item met een hoge verhouding een betere combinatie blokkeren, dus is dynamisch programmeren nodig.

Antwoord

B · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst

3.Datastructuren

Antwoord: B · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

Waarom dit het antwoord is

Aaneengesloten geheugen geeft een goede localiteit van referentie, terwijl gekoppelde knopen verspreid kunnen liggen en veel cache misses veroorzaken.

Antwoord

B · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

4.Datastructuren

Antwoord: C · O(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is

Waarom dit het antwoord is

Met beide optimalisaties kosten bewerkingen geamortiseerd O(α(n)) tijd; α(n) ≤ 4 voor elke realistische n.

Antwoord

C · O(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is

5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

B, D → 2

Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 4, C: 15

2. B (4): D: 9, E: 5

3. E (5): C: 12, F: 12

4. D (9): F: 11

5. F (11)

6. C (12)

ronde 3

Antwoord

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms