Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat berekent het algoritme van Floyd-Warshall, en hoe snel?

  1. AEen topologische ordening in O(V²)
  2. BKortste paden vanuit één bronknoop naar alle andere in O(V + E)
  3. CKortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
  4. DEen minimale opspannende boom in O(E log V)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Een circulaire buffer (ring buffer) wordt vaak gebruikt om het volgende te implementeren:

  1. AEen wachtrij met vaste grootte
  2. BEen binaire zoekboom
  3. CEen hashfunctie
  4. DEen graafdoorloop
4.DatastructurenMoeilijk

Een segmentboom (segment tree) wordt doorgaans gebruikt om:

  1. ADe kanten van een graaf op te slaan
  2. BEen stack te implementeren
  3. CStrings alfabetisch te sorteren door elk voorvoegsel in een aparte boomknoop op te slaan
  4. DBereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
11201911621218ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt C. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3.

start: Ck = 3
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)

Waarom dit het antwoord is

Floyd-Warshall is een algoritme voor dynamisch programmeren dat elke knoop om de beurt als tussenpunt toestaat en O(V³) tijd gebruikt.

Antwoord

C · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Θ(n log² n)

Waarom dit het antwoord is

Niveau k doet ongeveer n log(n / 2ᵏ) werk, en optellen over log n niveaus geeft Θ(n log² n), het uitgebreide tweede geval van het mastertheorema.

Antwoord

C · Θ(n log² n)
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een wachtrij met vaste grootte

Waarom dit het antwoord is

Een ringbuffer gebruikt head- en tail-indices die rondlopen, wat enqueue en dequeue in O(1) oplevert met vast geheugen.

Antwoord

A · Een wachtrij met vaste grootte
4.Datastructuren

Antwoord: D · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden

Waarom dit het antwoord is

Een segmentboom slaat aggregaten voor intervallen op en ondersteunt bereikquery's en puntupdates in O(log n) tijd.

Antwoord

D · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

A, C → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant DF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. CE (1)
2. EF (12)
3. DF (2)
4. BE (18)
5. AB (11)

kantnummer 3

DF

Antwoord

kant DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms