Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: for j = 1 to i: doe O(1) werk?

AO(n)
BO(n²)
CO(n³)
DO(n log n)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over het selecteren van het k-de kleinste element van een ongesorteerde array is juist?

AQuickselect loopt in het slechtste geval in O(log n), omdat het maar aan één kant van de pivot recursief verdergaat
BSelectie is alleen mogelijk in O(n²)
CQuickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
DSelectie heeft altijd Ω(n log n) nodig, omdat er gesorteerd moet worden

3.DatastructurenGemiddeld

Welke balansvoorwaarde handhaaft een AVL-boom in elke knoop?

AAlle bladeren liggen op precies dezelfde diepte
BBeide subbomen van elke knoop bevatten precies hetzelfde aantal knopen
CElke knoop is rood of zwart gekleurd
DDe hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1

4.DatastructurenMoeilijk

Een dynamische array verdubbelt als hij vol is. Waarom verkleinen veel implementaties hem pas als hij voor een kwart vol is, en niet voor de helft?

AOmdat de geheugenbeheerder geheugen alleen in kwarten van een blok kan vrijgeven
BOm herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
COmdat halveren bij de helft elementen zou kwijtraken
DOm de array gesorteerd te houden

5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 12 hoekpunten en 14 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 12|E| = 14

k =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(E) van het kortste pad van A naar E in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: E

d(E) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

De binnenste body wordt in totaal n(n + 1) / 2 keer uitgevoerd, en dat is nog steeds kwadratisch.

Antwoord

B · O(n²)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

Waarom dit het antwoord is

Het verwachte werk van quickselect is n + n/2 + n/4 + ... = O(n) met willekeurige pivots; door de pivot te kiezen als mediaan van medianen wordt het slechtste geval lineair.

Antwoord

C · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

3.Datastructuren

Antwoord: D · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1

Waarom dit het antwoord is

De balansfactor (hoogte links − hoogte rechts) moet −1, 0 of 1 zijn; rotaties herstellen die na invoegen en verwijderen.

Antwoord

D · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1

4.Datastructuren

Antwoord: B · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

Waarom dit het antwoord is

Verkleinen bij de helft zou in zo'n reeks bij elke bewerking een resize kunnen veroorzaken; de ruimte tussen 1/4 en vol houdt de geamortiseerde kosten O(1).

Antwoord

B · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

5.Grafentheorie

Antwoord: k = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

12 − 1 = 11

Te verwijderen kanten

k = 14 − 11 = 3

Antwoord

k = 3

6.Grafentheorie

Antwoord: d(E) = 9

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 1, C: 8

B (1): D: 7, E: 9

D (7): F: 18

C (8)

E (9)

F (18)

Kortste pad

A → B → E

d(E) = 9

Antwoord

d(E) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms