Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoe bouwt het algoritme van Prim een minimale opspannende boom?

  1. AHet laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
  2. BHet verwijdert de duurste kant totdat er geen cykels meer zijn
  3. CHet sorteert alle kanten op gewicht en voegt elke kant toe, tenzij die een cykel in het bos zou vormen
  4. DHet voert breedte-eerst zoeken uit en houdt de BFS-boom over
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Een probleem is NP-volledig als het:

  1. AIn polynomiale tijd oplosbaar is
  2. BBuiten NP valt maar moeilijker is dan alle NP-problemen, zoals het stopprobleem
  3. COnmogelijk op te lossen is
  4. DIn NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
3.DatastructurenGemiddeld

AVL-bomen en rood-zwartbomen garanderen:

  1. AZoeken in constante tijd in elk geval
  2. BDat sleutels in invoegvolgorde worden opgeslagen
  3. CDat geen enkele knoop twee kinderen heeft
  4. DEen hoogte van O(log n) door herbalancering
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom gebruiken databases voor indexen vaak B+-bomen in plaats van gewone B-bomen?

  1. AAlle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
  2. BB+-bomen hoeven niet gebalanceerd te zijn
  3. CB+-bomen slaan data alleen in de wortel op
  4. DB+-bomen gebruiken binaire interne knopen, wat het aantal schijflezingen vermindert
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1132293315ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(E) van het kortste pad van A naar E in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: E
d(E) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Prim, met een prioriteitswachtrij van kruisende kanten, loopt met een binaire heap in O(E log V).

Antwoord

A · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is

Waarom dit het antwoord is

NP-volledige problemen zijn de moeilijkste in NP; een polynomiaal algoritme voor één ervan zou er een opleveren voor heel NP.

Antwoord

D · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een hoogte van O(log n) door herbalancering

Waarom dit het antwoord is

Zelfbalancerende bomen houden de hoogte logaritmisch, zodat zoeken, invoegen en verwijderen in het slechtste geval O(log n) zijn.

Antwoord

D · Een hoogte van O(log n) door herbalancering
4.Datastructuren

Antwoord: A · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

Waarom dit het antwoord is

In een B+-boom sturen interne knopen alleen de zoektocht en zijn de bladeren in sleutelvolgorde gekoppeld, zodat een bereikquery de eerste sleutel vindt en dan langs de bladeren loopt.

Antwoord

A · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 1

Oneven hoekpunten

D, E → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(E) = 16

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 11
B (11): C: 14, D: 13, E: 26
D (13): E: 22, F: 16
C (14): E: 16
E (16)
F (16)

Kortste pad

A → B → C → E
d(E) = 16

Antwoord

d(E) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms