Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de geamortiseerde tijdcomplexiteit van een element toevoegen aan het einde van een dynamische array die zijn capaciteit verdubbelt als hij vol is?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. ADe pivot uniform willekeurig kiezen
  2. BAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
  3. CAltijd het eerste element kiezen
  4. DDe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt een draaiend programma om actieve functieaanroepen en hun lokale variabelen bij te houden?

  1. AEen hashtabel van functies
  2. BEen binaire zoekboom van frames
  3. CDe wachtrij van het heapgeheugen
  4. DDe call stack
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke regel moeten hash en gelijkheid voldoen om een hashtabel correct te laten werken?

  1. AGelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
  2. BGelijke hashwaarden impliceren gelijke sleutels
  3. CHashwaarden moeten priemgetallen zijn
  4. DVerschillende sleutels moeten verschillende hashwaarden hebben
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, 3 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
1552081311417ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt A. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5.

start: Ak = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant DF
  8. 8kant EF

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen worden alleen bij machten van twee gekopieerd; verdeeld over alle toevoegingen zijn de gemiddelde kosten per toevoeging constant.

Antwoord

A · O(1)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

A · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: D · De call stack

Waarom dit het antwoord is

Elke aanroep pusht een stackframe en elke return popt het, daarom wordt de meest recente aanroep als eerste afgerond.

Antwoord

D · De call stack
4.Datastructuren

Antwoord: A · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben

Waarom dit het antwoord is

Als twee gelijke sleutels verschillend zouden hashen, zouden ze in verschillende buckets worden opgeslagen en zouden lookups mislukken; ongelijke sleutels mogen wel een hash delen.

Antwoord

A · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 23

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 49 = 2(L + 14) − 2
L = 23

Antwoord

L = 23

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant BD

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. AC (5)
2. CE (13)
3. DE (11)
4. DF (4)
5. BD (8)

kantnummer 5

BD

Antwoord

kant BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms