Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(n) heeft als oplossing:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Van welk van deze vervulbaarheidsproblemen is bekend dat het in polynomiale tijd oplosbaar is?

  1. A3-SAT, waarbij elke clausule precies drie literalen heeft
  2. BAlgemene SAT op formules in conjunctieve normaalvorm
  3. CCircuitvervulbaarheid
  4. D2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
3.DatastructurenGemiddeld

In een binaire min-heap die in een array is opgeslagen (index begint bij 0), staan de kinderen van de knoop op index i op:

  1. Ai/2 en i/2 + 1
  2. Bi + 1 en i + 2
  3. C2i en 2i + 1
  4. D2i + 1 en 2i + 2
4.DatastructurenMoeilijk

Je moet uit een stroom van n getallen de k kleinste waarden bewaren met O(k) geheugen. Welke aanpak werkt in O(n log k) tijd?

  1. AEen max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
  2. BEen min-heap met alle n waarden, waaruit aan het eind de k kleinste worden gehaald
  3. CEen FIFO-queue van de laatste k waarden
  4. DEen gesorteerde array van alle n waarden
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 5, 2 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 52 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
877413910863ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema (a = 2, b = 2, f(n) = n) geldt T(n) = Θ(n log n).

Antwoord

A · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft

Waarom dit het antwoord is

2-SAT zit in P (lineaire tijd via sterk samenhangende componenten), terwijl 3-SAT NP-volledig is.

Antwoord

D · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
3.Datastructuren

Antwoord: D · 2i + 1 en 2i + 2

Waarom dit het antwoord is

Bij arrays met indexering vanaf 0 staat het linkerkind op 2i + 1, het rechterkind op 2i + 2 en de ouder op ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwoord

D · 2i + 1 en 2i + 2
4.Datastructuren

Antwoord: A · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt

Waarom dit het antwoord is

De wortel van de max-heap is de grootste bewaarde waarde; elke kleinere nieuwe waarde vervangt die in O(log k), zodat de heap altijd de k kleinste tot nu toe bevat.

Antwoord

A · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 11

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

Antwoord

L = 11

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 21

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 8, C: 7
C (7): E: 20, G: 13
B (8): D: 12
D (12): F: 21
G (13)
E (20)
F (21)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 21

Antwoord

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms