Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n/2) + O(1)?

AO(1)
BO(log n)
CO(n)
DO(n log n)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + n log n?

AΘ(n log n)
BΘ(n)
CΘ(n log² n)
DΘ(n²)

3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel knopen heeft een perfecte binaire boom met hoogte h, waarbij de hoogte in kanten wordt geteld?

A2h + 1
B2^h+1 − 1
C2^h
Dh²

4.DatastructurenMoeilijk

Wat is het belangrijkste voordeel van een skiplist ten opzichte van een gesorteerde gekoppelde lijst?

AVerwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
BHij slaat sleutels ongeordend op
CHij gebruikt geen extra geheugen
DGegarandeerd zoeken in O(1), omdat elke knoop een pointer naar elke andere knoop bewaart

5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 17 hoekpunten en 17 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 17|E| = 17

k =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Het probleem halveert bij elke stap met constant werk per stap, dus er zijn ongeveer log₂ n stappen.

Antwoord

B · O(log n)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Θ(n log² n)

Waarom dit het antwoord is

Niveau k doet ongeveer n log(n / 2ᵏ) werk, en optellen over log n niveaus geeft Θ(n log² n), het uitgebreide tweede geval van het mastertheorema.

Antwoord

C · Θ(n log² n)

3.Datastructuren

Antwoord: B · 2^h+1 − 1

Waarom dit het antwoord is

Optellen van 1 + 2 + 4 + ... + 2^h geeft 2^h+1 − 1; hoogte 2 geeft bijvoorbeeld 7 knopen.

Antwoord

B · 2^h+1 − 1

4.Datastructuren

Antwoord: A · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers

Waarom dit het antwoord is

Willekeurige niveaus laten zoekacties veel knopen overslaan, wat verwacht O(log n) oplevert voor zoeken, invoegen en verwijderen.

Antwoord

A · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers

5.Grafentheorie

Antwoord: k = 1

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

17 − 1 = 16

Te verwijderen kanten

k = 17 − 16 = 1

Antwoord

k = 1

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 10

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 5, C: 6

B (5): D: 9

C (6): E: 11

D (9): F: 10, G: 19

F (10)

E (11)

G (19)

Kortste pad

A → B → D → F

d(F) = 10

Antwoord

d(F) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms