Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke gulzige regel geeft bij het activiteitenselectieprobleem altijd een maximaal aantal niet-overlappende activiteiten?

  1. AKies de activiteit die het vroegst begint
  2. BKies eerst de kortste activiteit
  3. CKies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
  4. DKies eerst de activiteit met de minste overlappingen en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Kortste enkelvoudige paden kunnen in polynomiale tijd worden gevonden. Wat is bekend over het vinden van het langste enkelvoudige pad tussen twee knopen in een algemene graaf?

  1. AHet is onbeslisbaar
  2. BHet kan worden opgelost met het algoritme van Dijkstra met negatieve gewichten
  3. CHet is altijd oplosbaar in O(V + E)
  4. DHet is NP-moeilijk
3.DatastructurenGemiddeld

Je hebt een verwijzing naar een knoop in het midden van een lijst. In welke lijst kun je die in O(1) verwijderen?

  1. AEen enkelvoudig gekoppelde lijst
  2. BEen gesorteerde array
  3. CEen dynamische array
  4. DEen dubbel gekoppelde lijst
4.DatastructurenMoeilijk

Waarvoor wordt de union-findstructuur gebruikt in het algoritme van Kruskal voor de minimale opspannende boom?

  1. ADe beginknoop kiezen
  2. BDe kanten op gewicht sorteren
  3. CControleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
  4. DTijdens het zoeken de huidige afstand van elke knoop tot de bron opslaan
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K7? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K7
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
13313126898ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten

Waarom dit het antwoord is

Dat het kiezen van de vroegste eindtijd optimaal is, kan worden bewezen met een uitwisselingsargument; voor de andere regels bestaan tegenvoorbeelden.

Antwoord

C · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

Een langste enkelvoudig pad van lengte V − 1 is een hamiltonpad, een NP-volledig probleem; op gerichte acyclische grafen is het echter in lineaire tijd oplosbaar.

Antwoord

D · Het is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een dubbel gekoppelde lijst

Waarom dit het antwoord is

Een dubbel gekoppelde knoop kent zijn voorganger, dus je kunt prev en next direct opnieuw koppelen; een enkelvoudig gekoppelde lijst moet de voorganger zoeken.

Antwoord

D · Een dubbel gekoppelde lijst
4.Datastructuren

Antwoord: C · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn

Waarom dit het antwoord is

Find vertelt of beide eindpunten in dezelfde component liggen; zo niet, dan wordt de kant toegevoegd en voegt union de componenten samen.

Antwoord

C · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 360

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwoord

H = 360
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 17

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 13, C: 3
C (3): E: 9
E (9): D: 17, F: 17
B (13)
D (17)
F (17)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 17

Antwoord

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms