Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom schakelen veel sorteerroutines in bibliotheken over op insertion sort voor heel kleine deelarrays?

  1. ARecursieve algoritmen kunnen geen arrays van minder dan 10 elementen aan
  2. BInsertion sort is in het slechtste geval O(n log n)
  3. CInsertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
  4. DInsertion sort gebruikt voor grote invoer minder geheugen dan elk ander sorteeralgoritme
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom is een opzoeking in een hashtabel gemiddeld O(1) maar in het slechtste geval O(n)?

  1. ASleutels moeten eerst gesorteerd worden
  2. BArrays hebben O(n) toegang
  3. CVeel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
  4. DHashfuncties zijn traag
3.DatastructurenGemiddeld

Je hebt een verwijzing naar een knoop in het midden van een lijst. In welke lijst kun je die in O(1) verwijderen?

  1. AEen gesorteerde array
  2. BEen dynamische array
  3. CEen enkelvoudig gekoppelde lijst
  4. DEen dubbel gekoppelde lijst
4.DatastructurenMoeilijk

De sleutels 5, 3, 8, 1 worden in deze volgorde in een lege, op een array gebaseerde binaire min-heap ingevoegd. Wat is de uiteindelijke array?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K4? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K4
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 3 beginnen en eindigen bij A? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer

Waarom dit het antwoord is

Voor kleine n wint de eenvoudige lus van insertion sort van de recursie-overhead van quicksort of mergesort, ook al is insertion sort O(n²).

Antwoord

C · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen

Waarom dit het antwoord is

Met een goede hashfunctie en bezettingsgraad (load factor) blijven buckets gemiddeld kort; kwaadwillende of slechte hashing kan alle sleutels in één bucket stoppen.

Antwoord

C · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een dubbel gekoppelde lijst

Waarom dit het antwoord is

Een dubbel gekoppelde knoop kent zijn voorganger, dus je kunt prev en next direct opnieuw koppelen; een enkelvoudig gekoppelde lijst moet de voorganger zoeken.

Antwoord

D · Een dubbel gekoppelde lijst
4.Datastructuren

Antwoord: B · [1, 3, 8, 5]

Waarom dit het antwoord is

Na 5, 3, 8 is de array [3, 5, 8]; 1 komt op index 3, wisselt met zijn ouder 5 en daarna met 3, wat [1, 3, 8, 5] geeft.

Antwoord

B · [1, 3, 8, 5]
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Nog één stap

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 0·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms