Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom levert dynamisch programmeren geen echte versnelling op voor mergesort?

  1. ADe deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
  2. BMergesort heeft geen recursieve structuur
  3. CMergesort is al O(n)
  4. DDynamisch programmeren werkt alleen op grafenproblemen, niet op arrays
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

  1. AVerwijder het laatste element van de array
  2. BVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links
  3. CZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
  4. DVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.DatastructurenMoeilijk

Welke eigenschap houdt elke B-boom perfect gebalanceerd?

  1. AElke knoop slaat één sleutel op
  2. BElke knoop heeft precies twee kinderen
  3. CDe sleutels worden alleen in de wortel opgeslagen
  4. DAlle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 4, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 32 × deg 4
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
161475131110318ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken

Waarom dit het antwoord is

De helften van mergesort zijn disjunct en worden elk één keer opgelost; DP helpt alleen als deelproblemen terugkomen, zoals bij Fibonacci.

Antwoord

A · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Θ(n log² n)

Waarom dit het antwoord is

Niveau k doet ongeveer n log(n / 2ᵏ) werk, en optellen over log n niveaus geeft Θ(n log² n), het uitgebreide tweede geval van het mastertheorema.

Antwoord

A · Θ(n log² n)
3.Datastructuren

Antwoord: D · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

D · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte

Waarom dit het antwoord is

Knopen splitsen naar boven als ze vol zijn en de boom wordt alleen hoger als de wortel splitst, dus alle bladeren blijven altijd op hetzelfde niveau.

Antwoord

D · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 8

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 14 = 2(L + 4) − 2
L = 8

Antwoord

L = 8

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 52

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

GD (3): nemen
DF (5): nemen
DE (7): nemen
GC (10): nemen
GB (11): nemen
EF (13): overslaan, sluit een cykel
BD (14): overslaan, sluit een cykel
AB (16): nemen

Totaal gewicht

W = 3 + 5 + 7 + 10 + 11 + 16 = 52

Antwoord

W = 52

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms