Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de worst-case tijdcomplexiteit van quicksort?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is het verschil tussen een onbeslisbaar en een onhandelbaar probleem?

  1. AOnhandelbare problemen kunnen door geen enkel algoritme worden opgelost, terwijl onbeslisbare alleen exponentiële tijd nodig hebben
  2. BOnbeslisbare problemen zitten in NP, terwijl onhandelbare problemen in P zitten
  3. CBeide betekenen dat het probleem helemaal geen algoritme heeft
  4. DEen onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
3.DatastructurenGemiddeld

Welk abstract datatype gebruikt het algoritme van Dijkstra om de volgende te verwerken knoop te kiezen?

  1. AEen stack
  2. BEen min-prioriteitswachtrij
  3. CEen set zonder ordening
  4. DEen FIFO-queue
4.DatastructurenMoeilijk

In een circulaire buffer kan front == rear zowel leeg als vol betekenen. Wat is een gangbare manier om ze te onderscheiden?

  1. AMaak de buffer altijd leeg als front gelijk is aan rear, zodat de toestand leeg is
  2. BHoud een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
  3. CSla front en rear op in dezelfde variabele
  4. DMaak de buffergrootte een macht van twee
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 13 hoekpunten en 19 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 13|E| = 19
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
5210661351ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(E) van het kortste pad van A naar E in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: E
d(E) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

Met steeds slechte pivots (bijv. al gesorteerde invoer en het eerste element als pivot) zijn de partities ongebalanceerd, wat O(n²) geeft. Het gemiddelde geval is O(n log n).

Antwoord

B · O(n²)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag

Waarom dit het antwoord is

Voor het stopprobleem bestaat helemaal geen algoritme; een NP-moeilijk probleem zoals TSP kan met brute force worden opgelost, alleen niet in een bekende polynomiale tijd.

Antwoord

D · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een min-prioriteitswachtrij

Waarom dit het antwoord is

Een min-prioriteitswachtrij, meestal een binaire heap, geeft efficiënt de onbezochte knoop met de kleinste afstand terug.

Antwoord

B · Een min-prioriteitswachtrij
4.Datastructuren

Antwoord: B · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt

Waarom dit het antwoord is

Met een teller betekent leeg count = 0 en vol count = capaciteit; met één lege plaats wordt vol gedefinieerd als (rear + 1) mod n == front.

Antwoord

B · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 7

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

13 − 1 = 12

Te verwijderen kanten

k = 19 − 12 = 7

Antwoord

k = 7
6.Grafentheorie

Antwoord: d(E) = 6

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 5, C: 2
C (2): E: 8
B (5): D: 11, E: 6
E (6)
D (11): F: 16
F (16)

Kortste pad

A → B → E
d(E) = 6

Antwoord

d(E) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms