Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoe bouwt het algoritme van Prim een minimale opspannende boom?

  1. AHet laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
  2. BHet verwijdert de duurste kant totdat er geen cykels meer zijn
  3. CHet sorteert alle kanten op gewicht en voegt elke kant toe, tenzij die een cykel in het bos zou vormen
  4. DHet voert breedte-eerst zoeken uit en houdt de BFS-boom over
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over de kleine-o-notatie is juist?

  1. An = o(n²), maar n is niet o(n)
  2. Bn = o(n), omdat elke functie kleine o van zichzelf is
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n), omdat 2n langzaam groeit
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AEen binaire heap van kanten
  2. BAdjacency list
  3. CAdjacency matrix
  4. DEén gesorteerde array van knopen
4.DatastructurenMoeilijk

Wat doet een splay tree na elke toegang?

  1. ABouwt de hele boom gebalanceerd opnieuw op
  2. BRoteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
  3. CKleurt de knopen op het zoekpad opnieuw
  4. DVerplaatst de benaderde knoop naar een blad
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 15 hoekpunten en 19 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 15|E| = 19
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
6141119813ABCDE

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Prim, met een prioriteitswachtrij van kruisende kanten, loopt met een binaire heap in O(E log V).

Antwoord

A · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · n = o(n²), maar n is niet o(n)

Waarom dit het antwoord is

f = o(g) betekent dat f(n) / g(n) naar 0 gaat; n / n² gaat naar 0, maar n / n = 1 niet.

Antwoord

A · n = o(n²), maar n is niet o(n)
3.Datastructuren

Antwoord: B · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

B · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: B · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel

Waarom dit het antwoord is

Splaying brengt de benaderde knoop via rotaties naar de wortel; één bewerking kan O(n) kosten, maar de geamortiseerde kosten zijn O(log n).

Antwoord

B · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 5

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

15 − 1 = 14

Te verwijderen kanten

k = 19 − 14 = 5

Antwoord

k = 5
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 24

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AC (1): nemen
BC (4): nemen
AB (6): overslaan, sluit een cykel
DE (8): nemen
BD (11): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 4 + 8 + 11 = 24

Antwoord

W = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms