Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De ondergrens voor sorteren op basis van vergelijkingen in het slechtste geval is:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom geeft binair zoeken op een enkelvoudig gelinkte lijst geen O(log n) tijd?

  1. ABinair zoeken heeft minstens twee keer zoveel geheugen nodig
  2. BVergelijkingen op knopen van een gelinkte lijst zijn trager
  3. CGelinkte lijsten kunnen niet worden gesorteerd
  4. DHet middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe wordt een nieuw element in een binaire heap ingevoegd?

  1. APlaats het in de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  2. BPlaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt
  3. CVoeg het op de gesorteerde positie in door alle grotere elementen één plaats naar rechts te verschuiven
  4. DBouw de hele heap opnieuw op
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom gebruiken databases voor indexen vaak B+-bomen in plaats van gewone B-bomen?

  1. AAlle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
  2. BB+-bomen hoeven niet gebalanceerd te zijn
  3. CB+-bomen gebruiken binaire interne knopen, wat het aantal schijflezingen vermindert
  4. DB+-bomen slaan data alleen in de wortel op
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
5189151487ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ω(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Elk vergelijkingsgebaseerd sorteeralgoritme heeft in het slechtste geval minstens log₂(n!) ≈ n log n vergelijkingen nodig. Countingsort doet het beter omdat het niet vergelijkt.

Antwoord

B · Ω(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is

Waarom dit het antwoord is

Binair zoeken heeft O(1)-toegang tot het midden nodig; in een gelinkte lijst kost het lopen daarheen lineaire tijd, dus het totaal is O(n).

Antwoord

D · Het middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is
3.Datastructuren

Antwoord: B · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt

Waarom dit het antwoord is

Toevoegen aan het eind houdt de boom compleet; verwisselen met de ouder herstelt de ordening in O(log n) stappen.

Antwoord

B · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt
4.Datastructuren

Antwoord: A · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

Waarom dit het antwoord is

In een B+-boom sturen interne knopen alleen de zoektocht en zijn de bladeren in sleutelvolgorde gekoppeld, zodat een bereikquery de eerste sleutel vindt en dan langs de bladeren loopt.

Antwoord

A · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 8

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

Antwoord

L = 8

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 26

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

DE (1): nemen
DF (4): nemen
AB (5): nemen
BE (7): nemen
EF (8): overslaan, sluit een cykel
BC (9): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 4 + 5 + 7 + 9 = 26

Antwoord

W = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms