Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De tijdcomplexiteit van naïef recursief Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) is:

  1. AConstant
  2. BLogaritmisch
  3. CExponentieel
  4. DLineair
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Voor welke variant van het knapzakprobleem geeft de gulzige regel "neem items in volgorde van waarde per gewicht" altijd een optimaal antwoord?

  1. ABeide varianten
  2. BDe fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
  3. CDe 0/1-knapzak, waarbij items altijd in hun geheel moeten worden genomen
  4. DGeen van beide varianten
3.DatastructurenGemiddeld

Wat gebeurt er als een hashtabel rehasht nadat de load factor een drempel overschrijdt?

  1. ADe bestaande sleutels worden ter plaatse gesorteerd
  2. BEr wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
  3. CAlleen de botsende sleutels worden naar een nieuwe overloop-lijst aan het eind van de tabel verplaatst
  4. DDe oudste sleutels worden verwijderd om ruimte te maken
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn, zonder union by rank of path compression, de kosten in het slechtste geval van één find in een union-findstructuur met n elementen?

  1. AO(α(n))
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 10 hoekpunten en 20 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 10|E| = 20
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
414151412151112ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 3 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Exponentieel

Waarom dit het antwoord is

De aanroepboom groeit ongeveer als φⁿ (ongeveer 1,618ⁿ). Memoisatie brengt dit terug tot O(n).

Antwoord

C · Exponentieel
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst

Waarom dit het antwoord is

Als items kunnen worden opgesplitst, is de beste verhouding eerst optimaal; bij de 0/1-knapzak kan een item met een hoge verhouding een betere combinatie blokkeren, dus is dynamisch programmeren nodig.

Antwoord

B · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
3.Datastructuren

Antwoord: B · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

Waarom dit het antwoord is

Omdat de index modulo de tabelgrootte wordt berekend, moeten alle sleutels opnieuw in de nieuwe, grotere tabel worden gehasht; bij verdubbelen blijft dit geamortiseerd O(1).

Antwoord

B · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Naïeve unions kunnen bomen tot een lange keten koppelen, zodat find n − 1 ouderpointers kan moeten volgen; de twee heuristieken brengen het bijna op constante tijd.

Antwoord

D · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 11

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

10 − 1 = 9

Te verwijderen kanten

k = 20 − 9 = 11

Antwoord

k = 11
6.Grafentheorie

Antwoord: C

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 4, C: 14
2. B (4): D: 18, E: 16
3. C (14)
4. E (16): D: 17, F: 27
5. D (17): F: 22
6. F (22)

ronde 3

C

Antwoord

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms