Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk sorteeralgoritme is stabiel?

AMergesort
BHeapsort
CQuicksort (gangbare in-place-versie)
DSelectionsort (gangbare versie)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de geamortiseerde kosten van het ophogen van een binaire teller, als één ophoging veel bits kan omzetten?

AO(n log n) per ophoging
BO(n) per ophoging
CO(log n) per ophoging
DO(1) per ophoging

3.DatastructurenGemiddeld

Wat geldt voor de adjacency matrix van een ongerichte graaf?

AZe is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal
BZe is altijd bovendriehoeks
CElke rij heeft precies één 1
DHaar hoofddiagonaal bevat altijd enen

4.DatastructurenMoeilijk

Wat is de looptijd van breadth-first search op een graaf met V knopen die als adjacency matrix is opgeslagen?

AO(V²)
BO(E log V)
CO(V)
DO(V + E)

5.GrafentheorieGemiddeld

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6

1Eulercircuit
2Eulerpad, geen circuit
3geen van beide

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Mergesort

Waarom dit het antwoord is

Mergesort is stabiel als het samenvoegen bij gelijke waarden eerst uit de linkerhelft neemt. In-place quicksort, heapsort en selectionsort zijn meestal niet stabiel.

Antwoord

A · Mergesort

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(1) per ophoging

Waarom dit het antwoord is

Over n ophogingen wisselt bit i ongeveer n / 2ⁱ keer, dus het totaal is minder dan 2n bitwisselingen, gemiddeld O(1) per ophoging.

Antwoord

D · O(1) per ophoging

3.Datastructuren

Antwoord: A · Ze is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal

Waarom dit het antwoord is

In een ongerichte graaf betekent kant {u, v} dat zowel M[u][v] als M[v][u] gezet zijn, dus de matrix is gelijk aan haar getransponeerde.

Antwoord

A · Ze is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal

4.Datastructuren

Antwoord: A · O(V²)

Waarom dit het antwoord is

Elk van de V knopen doorzoekt een rij van V elementen, wat O(V²) geeft; met adjacency lists is BFS O(V + E).

Antwoord

A · O(V²)

5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

E, F → 2

Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 19

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 2

B (2): C: 7, D: 17

C (7): E: 10, G: 14

E (10): D: 15, F: 19

G (14)

D (15)

F (19)

Kortste pad

A → B → C → E → F

d(F) = 19

Antwoord

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms