Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoe bouwt het algoritme van Prim een minimale opspannende boom?

  1. AHet verwijdert de duurste kant totdat er geen cykels meer zijn
  2. BHet sorteert alle kanten op gewicht en voegt elke kant toe, tenzij die een cykel in het bos zou vormen
  3. CHet voert breedte-eerst zoeken uit en houdt de BFS-boom over
  4. DHet laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Zit 22n in O(2ⁿ)?

  1. ANee, want 22n groeit langzamer dan 2ⁿ
  2. BJa, want constante factoren in de exponent worden in grote O altijd genegeerd
  3. CNee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
  4. DJa, want beide zijn exponentieel
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt een draaiend programma om actieve functieaanroepen en hun lokale variabelen bij te houden?

  1. AEen binaire zoekboom van frames
  2. BEen hashtabel van functies
  3. CDe wachtrij van het heapgeheugen
  4. DDe call stack
4.DatastructurenMoeilijk

Een AVL-knoop is ongebalanceerd omdat de rechtersubboom van zijn linkerkind te hoog werd (left-right-geval). Welke correctie wordt toegepast?

  1. AEen enkele rechtsrotatie bij de knoop
  2. BEen enkele linksrotatie bij de knoop
  3. CEen rechtsrotatie bij het linkerkind, dan een linksrotatie bij de knoop
  4. DEen linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K5? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K5
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
211141151581ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Prim, met een prioriteitswachtrij van kruisende kanten, loopt met een binaire heap in O(E log V).

Antwoord

D · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd

Waarom dit het antwoord is

Een constante die bij de exponent wordt opgeteld, geeft een constante factor, maar een constante die de exponent vermenigvuldigt, verandert het grondtal en de groeisnelheid.

Antwoord

C · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
3.Datastructuren

Antwoord: D · De call stack

Waarom dit het antwoord is

Elke aanroep pusht een stackframe en elke return popt het, daarom wordt de meest recente aanroep als eerste afgerond.

Antwoord

D · De call stack
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop

Waarom dit het antwoord is

De eerste rotatie zet het left-right-geval om in een left-left-geval, dat een rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop daarna oplost.

Antwoord

D · Een linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 12

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwoord

H = 12
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 11

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 2, C: 11
B (2): D: 3, E: 3
D (3): F: 18
E (3): F: 11
C (11)
F (11)

Kortste pad

A → B → E → F
d(F) = 11

Antwoord

d(F) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms